Lineare Algebra 1 (WS 12/13) Tutorium 5: Musterlösung

Prof. Dr. B. Hanke
Dr. J. Bowden
Lineare Algebra 1 (WS 12/13)
Tutorium 5: Musterlösung
Aufgabe 1. Die Aussage wie sie in der Aufgabe geschrieben steht ist vollkommen korrekt. Sie beweist
allerdings nur dann die Reflixivität von R (∀x ∈ A : (x, x) ∈ R), wenn es zu jedem x ∈ A tatsächlich auch
ein y ∈ A gibt mit (x, y) ∈ R. Über Elemente x zu denen kein solches y existiert gibt die Aussage keinerlei
Auskunft.
Somit ist auch klar, wie wir ein Gegenbeispiel konstruieren: Auf der Menge A = {0, 1} bestehe die Relation R
nur aus dem einen Element (1, 1) ∈ A × A. Diese Relation ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.
Aufgabe 2.
(a)
• ` : R → R, x 7→ ax + b ist genau dann linear, wenn b = 0: Für b 6= 0 ist `(0) = b 6= 0, also kann `
nicht linear sein. Linearität für b = 0 folgt aus dem Distributivgesetz und dem Assoziativgesetz der
Multiplikation auf R.
• Die Abbildung ist nicht linear da,
||λ · (x, y)|| = ||(λx, λy))|| =
p
(λx)2 + (λy)2 = |λ| ||(x, y)|| =
6 λ||(x, y)||, f alls λ < 0, (x, y) 6= 0.
• A : R2 → R3 , (x, y) 7→ (y, 2x−y, 0) ist linear, denn diese Abbildung ist genau vom Typ eines Beispiels
aus der Vorlesung.
• Die sogenannte Evaluationsabbildung evi : V I → V, g 7→ g(i) ist linear, denn es gilt
evi (g1 + g2 ) = (g1 + g2 )(i) = g1 (i) + g2 (i) = evi (g1 ) + evi (g2 )
und
evi (λ · g) = (λ · g)(i) = λ · g(i) = λ · evi (g)
I
für alle g, g1 , g2 ∈ V , λ ∈ R.
(b) Sei f : R2 → R die Abbildung
f (x, y) =
p
3
x3 + y 3 .
Dann gilt
f (λ · (x, y)) =
p
3
(λx)3 + (λy)3 =
√
p
p
3
3
λ3 (x3 + y 3 ) = |{z}
λ3 3 (x3 + y 3 ) = λ · f (x)
=λ
aber
√
3
2 = f (e1 + e2 ) 6= f (e1 ) + f (e2 ) = 1 + 1 = 2,
wobei e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) Standardbasisvektoren sind
Aufgabe 3.
Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräume.
(a) Sei (v1 , . . . , vk ) ein Erzeugendensystem von V . Sei w ∈ f [V ] mit w = f (v). Dann ∀ v ∈ V gibt es λ1 , ..., λk
mit
k
X
v=
λ i · vi .
i=1
Wegen Linearität gilt dann:
k
k
X
X
λi · vi ) =
λi · f (vi )
w = f (v) = f (
i=1
i=1
und damit ist (f (v1 ), . . . , f (vk )) ein Erzeugendensystem von f [V ].
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(b) Angenommen es gibt eine surjektive lineare Abbildunge f : V → W , so dass f [V ] = W . Sei (v1 , ..., vm )
eine Basis von V . Dann nach Teilaufgabe (a) ist (f (v1 ), . . . , f (vm )) ein Erzeugendensystem von f [V ] = W .
Nach dem Basisauswahlsatz gilt dann
n = dim W ≤ m
was in Widerspruch zur Annahme m < n steht. Somit kann es keine surjektive lineare Abbildung f : V →
W geben.
Aufgabe 4. Seien f : U → V und g : V → W lineare Abbildungen und setze h = g ◦ f .
Wir überprüfen die Linearität von h: Seien x, y ∈ U, λ, µ ∈ R. Es gilt
h(λ · x + µ · y)
=
(g ◦ f ) (λ · x + µ · y)
= g(f (λ · x + µ · y))
= g(λ · f (x) + µ · f (y)), Linearitaet von f
= λ · g(f (x)) + µ · g(f (y)), Linearitaet von g
=
(λ · g ◦ f ) (x) + (µ · g ◦ f ) (y) = λ · h(x) + µ · h(y).
Somit ist die Abbildung h = g ◦ f linear.
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