Lineare Algebra I - 11.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 4.4 4.4. Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen Um Vektorräume in Beziehung zueinander zu setzen betrachtet man Abbildungen zwischen Abbildungen, zwischen Vektorräumen, die mit Ihnen, die mit der Vektorraum-Struktur kompatibel sind. Im folgenden bezeichnet K immer der Vektorraum-Struktur kompatibel sind … einen Körper. Definition 4.33. Seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V ! W heißt K-linear, oder einfach nur linear, falls (1) f (v + w) = f (v) + f (w) für alle v, w 2 V , (d.h. f : (V, +) ! (W, +) ist ein Gruppenhomomorphismus), und 34(2) f (k · v) = k · f (v), für alle k 2 K und v 2 V . 4.4 Lineare Abbildungen 34 4.4 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen nennt man auch Vektorraumhomomorphismen. Beispiel 4.34. Definition 4.35. Es gibt noch einige weitere Spezialf älle linearer Abbildungen, die eigene (1) Die Abbildung : R noch ! R,einige die gegeben durchälle x 7! a x fürAbbildungen, ein a 2 R ist die linear. Definition 4.35. Es fgibt weitereist Spezialf linearer eigene Namen haben: sei f : V ! W linear. (2) Das gilt auch Abbildung Namen haben: sei f f:ürV die !W linear. f : Rn ! R, x 7! a1 x1 + . . . + an xn , wobei ai 2 R. • Monomorphismus: f ist injektiv, (3) C ist Vektorraum sowohl R als auch über C. Die Abbildung f : C ! C, z 7! z • Monomorphismus: f ist über injektiv, • Epimorphismus: f ist surjektiv, ist R-linear, nicht aber • Epimorphismus: f istC-linear. surjektiv,(f (rz) = rz, aber r = r gilt genau dann wenn r 2 R.) • Isomorphismus: f ist bijektiv, (Dann nennt man V und W isomorph: V ⇠⇠ = W .) (4) Sei X eine Menge,f x X, und(Dann K einnennt Körper. Einsetzungsabbildung • Isomorphismus: ist2bijektiv, man Dann V undist W die isomorph: V = W .) • Endomorphismus: V = W , • Endomorphismus: V f=7! W f, (x) linear. x : Abb(X, K) ! K, • Automorphismus: f ist bijketiv und und V = =W W.. • Automorphismus: (5) Die Ableitung (·)0 : Cf1ist (R,bijketiv R) ! C 1 (R,V R), f 7! f 0 , die glatte Funktionen f : R ! R auf ihre Ableitungen abbildet, ist ein eineIsomorphismus, lineare Abbildung. Bemerkung 4.36. Ist f : V ! W dann ist ist die die Umkehrabbildung Umkehrabbildung Bemerkung 4.36. Ist f : V ! W ein Isomorphismus, dann ff 11 :: W W! !V V auch auch linear, linear, und und damit damit ein ein Isomorphismus. Isomorphismus. [Übungsaufgabe] Proposition 4.37. Seien Seien f, f, gg :: VV ! !W W lineare lineare Abbildungen, Abbildungen, kk22K. K.Dann Dannsind sinddie dieAbbilAbbilProposition 4.37. dungen dungen (f + + g) g) :: VV ! !W W ,, xx 7! 7! ff(x) (x) + + g(x) g(x) und und •• (f (k ·· ff )) :: V V ! !W W ,, xx 7! 7! kk ·· ff(x) (x) •• (k 4.4. Lineare Abbildungen linear. Insbesondere ist ist die die Menge Menge der der linearen linearen Abbildungen Abbildungen VV ! !W W ein ein K-Vektorraum. K-Vektorraum. linear. Insbesondere linear. Insbesondere ist diek Menge Menge der linearen linearen Abbildungen Abbildungen VV ! !W W ein ein K-Vektorrau K-Vektorrau linear. Insbesondere ist die der • (k · f ) : V ! W , x ! 7 · f (x) linear. Insbesondere ist die Menge der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorrau Wir nennen ihn Hom(V, Hom(V, WMenge ). linear. Insbesondere ist die der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorraum. Wir nennen ihn W ). Wir nennen ihn Hom(V, W ). Wir nennen ihn Hom(V, W ). Beweis. Einfaches Nachrechnen. Beweis. Beweis. Einfaches Einfaches Nachrechnen. Nachrechnen. Beweis. Einfaches Nachrechnen. Proposition 4.38. Proposition Proposition 4.38. 4.38. Proposition (1) Sei V4.38. !W W eine eine lineare lineare Abbildung. Abbildung. Dann Dann gilt gilt (1) ! (1) Sei Sei fff ::: VV ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt (1) Sei f : V ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt ! ! ! n n nn nn X X ! X X X X n n X xiii = = (xiii))),,, fffür ür alle alle kkkiii 22 2K K,,, xxxiii 22 2 VV V ... fff X kkkiiixx kkkiiifff(x = (x ür alle K f k x = k f (x ) , für alle k 2 K , x 2 V . i=1 i i=1 i=1 i i=1 (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) i i=1 i=1 i=1 i i i i=1 Die identische Abbildung Abbildung id id ::: VV V ! ! VV V , xx x 7! 7! xx x ist ist linear. linear. Die identische Die identische identische Abbildung ist linear. Die Abbildung id id : V !! V , x,,7! x7!ist linear. Die Kompositionzweier zweierlinearer linearer Abbildungen ist linear. linear. Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist Die Komposition Komposition zweier linearer Abbildungen ist linear. Die Abbildungen ist linear. Die Einschr Einschränkung änkungeiner einer linearen Abbildung auf einen Untervektorraum ist linear. linear. Die Einschr änkung einer linearen Abbildung einen Untervektorraum ist Die linearen Abbildung aufauf einen Untervektorraum ist linear. Beweis. (1) Induktion Induktionnach nachn.n. n. Die Aussage gilt ür=nn1,= =denn 1, denn denn (k=xx1k1))1 = (x11).). GG Beweis. (1) Induktion nach Die Aussage ür 1, 1ff(x Beweis. (1) Die Aussage giltgilt für ffn f (k1fxf(k f=(xkk11). Gilt 1 ) 11 die Aussage ffür die n, so folgt für ürn, n,so sofolgt folgt die Aussage Aussage ! ! ! ! ! ! ! ! ! n+1 n n n+1 n n n+1 n n X X XX X X X X X ff kkkiiixxxiii == kikk xiii xx+ kn+1 xn+1 = f= (k xn+1 kkn+1 xxn+1 ff (k = f ff + = ff ki xikkiixx+ii f + +n+1 (k xn+1 n+1 n+1 n+1)x n+1)) ii + n+1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n nn X !! ! i=1 i=1 i=1 n nn X X X X X == kikk xiii xxii + + kn+1 f (xffn+1 )n+1 = )) = ki f (x )f(x +ii))kn+1 fkk(x )(xn+1 if n+1 = f ff + k (x = k (x + f k (x k + f (x n+1 i n+1 n+1 n+1 n+1 i n+1 i i n+1 n+1 i i n+1 n+1)) i=1i=1 i=1 i=1 n+1 X n+1 n+1 n+1 X X X == ki kf (x ).). f i(x = = (2) ist o↵ensichtlich. (2) ist o↵ensichtlich. i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 kkiiiff(x (xiii)).. 4.4. Lineare Abbildungen • Isomorphismus: f ist bijektiv, (Dann nennt man V und W isomorph: V ⇠ = W .) • Endomorphismus: V = W , • Automorphismus: f ist bijketiv und V = W . Abbildungen bilden Vektorraum: Bemerkung 4.36. Ist Lineare f : V ! W ein Isomorphismus, dann ist die Umkehrabbildung f 1 : W ! V auch linear, und damit ein Isomorphismus. Proposition 4.37. Seien f, g : V ! W lineare Abbildungen, k 2 K. Dann sind die Abbildungen 4 Vektorr 35 • (f +äume g) : V ! W , x 7! f (x) + g(x) und • (k · f ) : V ! W , x 7! k · f (x) linear. Insbesondere ist die Menge der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorraum. Sei weiter k 2ihn K,Hom(V, so gilt W ). Wir nennen (f g)(k = f (g(k x)) =W f (k k f (g(x)) (f Wg)(x) Wir bezeichnen ihnx)mit oder=auch Hom=Kk(V, ). . Hom(V, ) g(x)) Beweis. Einfaches Nachrechnen. (4) ist auch o↵ensichtlich. Proposition 4.38. (1) Sei f : V4.39. ! WSeien eineVlineare Dann gilt K-Vektorräume mit Basen {v , . . . , v } Proposition und WAbbildung. endlich-dimensionale 1 n ! n eine lineare n Abbildung f : V ! W eindeutig bestimmt durch bzw. {w1 , . . . , wm }. DannX ist X = die linearen ki f (xi ) ,Abbildungen für alle ki 2 K , xi 2 V . die Bilder f (v1 ), . . . , ff(vn ) 2 kWi x, iund i=1 i=1 n X fi,a : V Abbildung ! W , v id =: V ! xi vVi ,7 x!7!xixwist 1 i n, 1 a m (2) Die identische a , linear. i=1 Abbildungen ist linear. (3) Die Komposition zweier linearer (4) Die einerW linearen Abbildung auf einen Untervektorraum ist linear. formen eineEinschr Basis änkung von Hom(V, ). Daher ist Beweis. (1) Induktion nach n.Hom(V, Die Aussage für)ndim(W = 1, denn dim W ) = gilt dim(V ) . f (k1 x1 ) = k1 f (x1 ). Gilt die Aussage für n, so folgt ! dass f durch ! festgelegt wird, denn Beweis. Es ist klar, die Bilder f (vi )!der Basisvektoren n+1 n n X X X sei g eine andere lineare Abbildung mit g(v ) = f (v ), so folgt (g fürx alle) i und i i f ki x i = f ki xi + kn+1 xn+1 = f ki xi f )(v + i )f = (k0n+1 n+1 daher wegen der Linearit ät, und dem Umstand, dass die v V erzeugen (g f )(v) = 0 für ii=1 i=1 i=1 ! alle v 2 V . Also g = f . 4.4. Lineare Abbildungen n n X X Ferner sind die fi,a linear unabhängig. Sei nämlich f = i,a yi,a fi,a = 0. Dann gilt X X 0 = f (vj ) = yi,a fi,a (vj ) = yj,a wa , a Bild und Kerni,avon linearen Abbildungen: für alle j. Da die wa linear unabhängig sind, folgt, yj,a = 0 für alle a und j. Die fi,a sind also eine Basis, und daraus folgt sofort die Dimensionsformel. Proposition 4.40. Sei f : V ! W linear und seien X ✓ V und Y ✓ W Untervektorräume. Dann ist f (X) ein Untervektorraum von W , und f 1 (Y ) ein Untervektorraum von V . Beweis. Seien w1 , w2 2 f (X), k 2 K. Dann gibt es x1 , x2 2 X mit wi = f (xi ). Dann 36 4.4x1 Lineare gilt aber w1 + w2 = f (x1 ) + f (x2 ) = f (x1 + x2 ) 2 f (X), denn + x2 2 Abbildungen X. Außerdem ist k w1 = k f (x1 ) = f (k x1 ) 2 f (X), denn k x1 2 X. Also ist f (X) abgeschlossen unter Spezialfälle: Addition und skalarer Multiplikation, damit also ein Untervektorraum. Definition Sei f1 (Y : V). ! W linear. Seien nun v4.41. Dann gilt f (vi ) = yi 2 Y . Da Y Untervektorraum, so ist auch 36 4.4 Lineare Abbildungen 1 , v2 2 f • Das := vf1(V+)v✓ W . 1 (Y ). Für k 2 K gilt Y 3 y1 +Bild y2 =von f (vf1 )ist + der f (v2Untervektorraum ) = f (v1 + v2 ). im(f Also )ist 2 2 f 1 1 ({0}) ✓ V . • Der Kern von f ist der Untervektorraum ker(f ) := f außerdem Y 3 k y1 = k f (v1 ) = f (k v1 ). Also ist k v1 2 f (Y ). Damit ist auch f 1 (Y ) ein Definition 4.41. Sei f : V ! W linear. Untervektorraum. Proposition 4.42. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt Das BildSpezialf von f älle ist der Untervektorraum im(f ) := f (V ) ✓ W . Zwei• wichtige davon sind: (1)• fDer ist surjektiv wenn im(f ) = Wker(f . ) := f 1 ({0}) ✓ V . Kern vongenau f ist dann der Untervektorraum (2) f ist injektiv genau dann wenn ker(f ) = {0}. Proposition 4.42. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt Beweis. ist klar.genau dann wenn im(f ) = W . (1) f ist(1) surjektiv 1 (2)(2) Falls f injektiv ist, so gilt |f Da aber f (0) = 0 folgt, dass ker(f ) = {0}. f ist injektiv genau dann wenn({0})| ker(f = ) =1.{0}. Sei andererseits ker(f ) = {0}, und x1 , x2 2 V mit f (x1 ) = f (x2 ). Wegen der Linearität von fBeweis. gilt 0 = (1) f (xist f (x2 ) = f (x1 x2 ). Also x1 x2 2 ker(f ). Also x1 x2 = 0, und damit 1 ) klar. x(2) x2 . Also ist f injektiv. f injektiv ist, so gilt |f 1 ({0})| = 1. Da aber f (0) = 0 folgt, dass ker(f ) = {0}. 1 =Falls Sei andererseits ker(f ) = {0}, und x1 , x2 2 V mit f (x1 ) = f (x2 ). Wegen der Linearität von f gilt 0 = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ). Also x1 x2 2 ker(f ). Also x1 x2 = 0, und damit Satz Seiistf f: injektiv. V ! W lineare Abbildung, und V endlich-dimensional. Dann ist auch x1 = 4.43. x2 . Also f (V ) endlich-dimensional und es gilt 4.4. Lineare Abbildungen f gilt 0 = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 x1 = x2 . Also ist f injektiv. x2 ). Also x1 x2 2 ker(f ). Also x1 x2 = 0, und damit Satz 4.43. Sei f : V ! W lineare Abbildung, und V endlich-dimensional. Dann ist auch f (V ) endlich-dimensional und es gilt dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(im(f )) . Insbesonder ist f genau dann injektiv, wenn dim(V ) = dim(im(f )). Beweis. Seien B eine Basis von V und B 0 eine Basis von ker(f ) ✓ V . Nach Satz 4.26 und Korollar 4.29 kann man B 0 durch hinzufügen von |B| |B 0 | = dim(V ) dim(ker(f )) =: d Elementen zu einer Basis von V ergänzen. Sei S die Menge dieser d Elemente. Aus der Behauptung, dass f (S) gerade eine Basis von im(f ) ist folgt der Satz. Im folgenden wird die Behauptung gezeigt. Sei dazu B 0 = {x1 , . . . , xn d }, S = {xn d+1 , . . . , xn }. Als erstes wird gezeigt, Pn dass f (S) das Bild im(f ) erzeugt: Sei w 2 im(f ). Dann gibt es ki 2 K, so dass f ( i=1 ki xi ) = w. Da aber x1 , . . . , xn d 2 ker(f ) folgt ! n n n X X X w=f ki x i = ki f (xi ) = ki f (xi ) 2 L(f (S)) . i=1 i=1 i=n d+1 Als n ächstes wird gezeigt, dass f (S) linear unabhängig ist. Sei kn d+1 , . . . , kn 2 K und P P P n n 0 = ni=n d+1 ki f (xi ) = f k x . Dann ist also i i i=n d+1 i=n d+1 ki xi 2 ker(f ). Nun ist aber B 0 = {x1 , . . . , xn d } eine Basis von ker(f ). Also gibt es k1 , . . . , kn d 2 K mit n X i=n d+1 ki xi = n d X i=1 ki x i , n X ki x i = 0 . i=1 Da aber B = {x1 , . . . , xn } eine Basis von V ist, also insbesondere linear unabhängig, folgt 4.4. Lineare Abbildungen