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§15 Lineare Abbildungen
(15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V
und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn
für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt:
f(sx + ty) = sf(x) + tf(y) .
Genauer: „K-linear“ oder „K-Vektorraumhomomorphismus“
(15.2) Beispiele:
2
1o Ein spezielles Beispiel: f : K K , f xy : 2x 5y .
2o Lim : Fk R , x ( x k ) lim x k (vgl. 10.6.3o: Fk := {x aus
RN: x ist konvergent}) ist linear.
3o Die Ableitung D : C1(R ) C(R ) , f f , ist linear.
j
j 1
4o Die formale Ableitung D : K[T] K[T] , p j T jp j T ,
ist ebenfalls linear.
Folie 1
5o Sei M eine Menge und a ein Element aus M. Die
M
„Auswertung“ â : K K , f f (a), ist linear.
(15.3) Bemerkungen:
1o Eine lineare Abbildung f ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, sie „respektiert“ neben der Addition zusätzlich
noch die Skalarmultiplikationen.
2o Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und f( sk v k ) sk f(v k ) .
3o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear.
4o Die Menge der linearen Abbildungen Hom(V,W) von V
nach W ist bezüglich der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum von WV.
5o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1
ebenfalls linear.
6o Aut(V) := {f aus Hom(V,V) : f bijektiv} ist eine Gruppe
bezüglich der Komposition von Abbildungen, und zwar eine
Untergruppe der Permutationsgruppe S(V) .
Folie 2
Kapitel III, §15
(15.4) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W. f heißt
1o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist.
2o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
3o Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
4o Endomorphismus, wenn V = W gilt.
5o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist.
(15.5) Lemma: {b1, b2, ... , bn} sei eine Basis von V . Dann wird für
jedes n-Tupel (w1, w2, ... , wn) von Vektoren aus W durch
f(s1b1 + s2b2 + ... + snbn) := s1w1 + s2w2 + ... + snwn
eine lineare Abbildung definiert.
Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form.
Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V.
Folie 3
Kapitel III, §15
(15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den KVektorräumen V und W.
1o Ker f := f –1(0), Kern von f .
2o Im f := f(V), Bild von f .
(15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V .
1o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W .
2o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0} .
3o f(Span(A)) = Span(f(A)) .
4o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E)
Erzeugendensystem von Im f .
5o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt.
6o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f
injektiv ist.
(15.8) Satz: 1o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind
genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind.
Folie 4
Kapitel III, §15
2o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem
Kn isomorph mit n = dim V .
(15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K(B) ,
wobei B eine Basis von V ist.
(15.10) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimensionale K-Vektorräume V und W endlicher Dimension sind die folgenden Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent:
1o f ist injektiv.
2o f ist surjektiv.
3o f ist bijektiv.
Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für
unendlichdimensionale Vektorräume gültig ist:
(15.11) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f
von V nach W gilt:
dim Ker f + dim Im f = dim V
Folie 5
