9. Woche - Mathematik - Universität Düsseldorf

Fakultät für Mathematik
Heinrich Heine-Universität Düsseldorf
PD Dr. Markus Perling
Sommersemester 2014
Lineare Algebra 1
Neunte Woche, 4.6.2014
§5 Vektorräume (Ende)
Satz: Es sei V ein Vektorraum und U ⊂ V ein Untervektorraum. Dann gilt:
(i) V /U ist ein K-Vektorraum.
(ii) Die Projektionsabbildung π : V −→ V /U , v 7→ [v] ist linear.
Korollar: Es sei f : V −→ W eine lineare Abbildung. Dann sind V / Kern(f ) und
W/ Bild(f ) K-Vektorräume.
Definition: Man bezeichnet W/ Bild(f ) auch als Kokern von f .
Faßt man die Inklusion Kern(f ) ⊂ V als Abbildung auf (eine übliche Schreibweise ist:
Kern(f ) ,→ V ), dann kann man das Verhältnis von Kern zu Kokern auf symmetrische
Weise wie folgt darstellen:
f
Kern(f ) ,→ V −→ W Kokern(f )
(wobei man mit eine surjektive Abbildung kenntlich macht).
Satz (Homomorphiesatz für Vektorräume): Es seien V, W K-Vektorräume und f : V −→
W eine lineare Abbildung. Dann gibt es genau eine bijektive lineare Abbildung
g : V / Kern(f ) −→ Bild(f ), so daß f = g ◦ π.
In Diagrammform haben wir also wieder:
V
π
f
∃!
g
/
Bild(f
)⊂W
6
V / Kern(f )
Satz: Es sei V ein Vektorraum und U ⊂ V eine beliebige Teilmenge. Dann sind äquivalent:
(i) U ist ein Untervektorraum.
(ii) Für alle λ ∈ K und u, v ∈ U gilt: u − v ∈ U und λu ∈ U .
(iii) Für alle λ, µ ∈ K und u, v ∈ U gilt: λu + µv ∈ U .
§6 Erzeugendensysteme, Basen und Dimension
Auch in diesem Abschnitt sei K stets ein Körper.
Definition: Es sei V ein K-Vektorraum.
(i) Es sei (vi )i∈I eine Familie von Elementen in V . Dann heißt v ∈ V eine endliche
Linearkombination von Elementen dieser Familie, wenn es eine endliche Teilmenge
J ⊂ I gibt und eine Familie (λj )j∈J von Elementen in K, so daß gilt:
X
v=
λj vj .
j∈J
Ist insbesondere I = {1, . . . , n} mit n ∈ N, dann ist v eine Linearkombination von
v1 , . . . , vn , wenn es λ1 , . . . , λn ∈ K gibt, so daß
v=
n
X
λi vi .
i=1
(ii) Es sei M ⊂ V eine beliebige Teilmenge und wir bezeichnen M := {U ⊂ V | U ist
Untervektorraum von V und M ⊂ U }. Dann setzen wir:
\
hM i :=
U.
U ∈M
Für eine Familie (vi )i∈I schreiben wir auch:
hvi | i ∈ Ii := h{vi }i∈I i.
Für I = {1, . . . , n} schreiben wir auch hv1 , . . . , vn i.
Satz: Es sei V ein Vektorraum und M ⊂ V .
(i) hM i ist ein Untervektorraum von V .
(ii) hM i besteht aus endlichen Linearkombinationen von Elementen in M .
Definition: Es seien M und V wie zuvor.
(i) hM i heißt der von M erzeugte Untervektorraum (bzw. die lineare Hülle von M in
V ).
(ii) Es sei U ⊂ V ein Untervektorraum. Falls gilt U = hM i, dann heißt M Erzeugendensystem von U .
(iii) Wenn gilt hM i = V , dann heißt M Erzeugendensystem von V .
(iv) V heißt endlich erzeugt, wenn es ein endlichens Erzeugendensystem besitzt.
Definition: Eine Familie von Vektoren (vi )i∈I heißt linear abhängig, wenn es eine endliche
P Teilmenge J ⊂ I und eine Familie (λj )j∈J von Elementen in K gibt, so daß
j∈J λj vj = 0 und λj 6= 0 für mindestens ein j ∈ J. Andernfalls heißt (vi )i∈I linear
unabhänging. Ist insbesondere I = {1, . . . n},
Pdann sind Vektoren v1 , . . . , vn linear abhänging, wenn es λ1 , . . . , λn ∈ K gibt, so daß ni=1 λi vi = 0 und λi 6= 0 für mindestens ein
i.
Bemerkung: (i) (vi )i∈I ist genau dann linear unabhänging, wenn fürP
alle endlichen
Teilmengen J ⊂ I und Familien (λj )j∈J von Elementen in K mit j∈J λj vj = 0
gilt, daß λj = 0 für alle j ∈ J.
(ii) ∅ ist linear unabhänging.
(iii) {0} ist linear abhängig.
(iv) Ist (vi )i∈I linear unabhängig, dann ist auch (vj )j∈J linear unabhängig für alle J ⊂ I.
(v) Gibt es i, j ∈ I mit i 6= j und vi = vj , dann ist (vi )i∈I linear abhängig.
Beispiel: Es sei V = K n . Dann setzen wir e1 := (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . en =
(0, . . . , 0, 1). Dann sind e1 , . . . , en linear unabhängig und es gilt V = he1 , . . . , en i.
Satz: Es sei V ein Vektorraum und (vi )i∈I eine Familie von Vektoren in V . Dann ist
(vi )i∈I genau dann linear unabhängig, wenn man in hxi | i ∈ Ii jedes Element eindeutig
als Linearkombination der vi schreiben kann.
Definition: Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt Basis.
Beispiele: 1) e1 , . . . , en ist Basis von K n .
2) In Matm×n (K) bezeichne eij die Matrix, deren einziger von 0 verschiedener Eintrag
sich in der i-ten Zeile und j-ten Spalte befindet und den Wert 1 hat. Dann bilden
{eij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} eine Basis von Matm×n (K).
3) Faßt man K[X] als K-Vektorraum auf, dann bilden die Monome 1, X, X 2 , X 3 , . . . eine
Basis.
4) 1 und i bilden eine Basis von C als R-Vektorraum. Jedes z 6= 0 bildet eine Basis von
C als C-Vektorraum.
Satz: Es sei V ein K-Vektorraum und v1 , . . . , vn ∈ V . Dann sind äquivalent:
(i) v1 , . . . , vn sind linear abhängig.
(ii) Es gibt ein 1 ≤ k ≤ n und λ1 , . . . , λk−1 , λk+1 , . . . , λn ∈ K, so daß vk =
Pn
i=1
i6=k
λi vi .
(iii) Es gibt ein 1 ≤ k ≤ n, so daß hv1 , . . . , vn i = hv1 , . . . , vk−1 , vk+1 , . . . , vn i.
Definition: Es sei V ein K-Vektorraum. Wir nennen ein Erzeugendensystem (vi )i∈I von
V minimal, wenn für alle j ∈ I gilt: hvi | i ∈ I \ {j}i 6= V .
Satz: Jeder endlich erzeugte K-Vektorraum besitzt eine Basis und jede solche Basis ist
endlich.
Satz: Es sei V ein K-Vektorraum und v1 , . . . , vn ∈ V . Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i) v1 , . . . , vn bilden eine Basis von V .
(ii) v1 , . . . , vn sind eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V .
(iii) v1 , . . . , vn sind ein minimales Erzeugendensystem von V .
Satz (Basisergänzungssatz): Es sei V ein K-Vektorraum, v1 , . . . , vr ∈ V linear unabhängig und w1 , . . . , wm ein Erzeugendensystem von V . Wenn hv1 , . . . , vr i =
6 V , Dann gibt
es i1 , . . . , is ∈ {1, . . . , m}, so daß v1 , . . . , vn , wi1 , . . . , wis eine Basis von V bilden.
Satz (Austauschlemma): Es sei V ein K-Vektorraum, v1 , . . . , vr eine Basis von V und
0 6= w ∈ V . Dann gibt es ein 1 ≤ k ≤ n, so daß v1 , . . . , vk−1 , w, vk+1 , . . . , vn eine Basis
von V bilden.
Satz (Steinitzscher Austauschsatz): Es sei V ein K-Vektorraum, v1 , . . . , vn eine Basis
von V und w1 , . . . , wr eine Linear unabhängige Famile von Vektoren in V . Dann gilt
r ≤ n und es gibt i1 , . . . , ir ∈ {1, . . . n}, so daß man nach Austausch von wk gegen vik für
1 ≤ k ≤ r wieder eine Basis erhält.
Bemerkung: Nach Umnumerierung kann man annehmen, daß i1 = 1, . . . ir = r gilt, also
w1 , . . . , wr , vr+1 , . . . , vn eine Basis bildet.
Korollar: Es sei V ein K-Vektorraum und v1 , . . . , vm , w1 , . . . , wn zwei Basen von V .
Dann gilt: m = n.
Definition: Es sei V ein K-Vektorraum. Besitzt V eine endliche Basis v1 , . . . , vn , dann
setzen wir dim V := n, die Dimension von V . Wir nennen V in diesem Fall auch endlichdimensional. Besitzt V keine endliche Basis, dann nennen wir V unendlich-dimensional
und setzen dim V := ∞.
Literatur-/Lesevorschläge
S. Bosch, Lineare Algebra, §1.5
G. Fischer, Lineare Algebra, §1.5