Kapitel 10. Lineare Abbildungen • Definition linearer Abbildungen

Kapitel 10. Lineare Abbildungen
• Definition linearer Abbildungen
• Eigenschaften und Beispiele
• Alle linearen Abbildungen Rn → V
• Bild von Unterräumen
Vorschau: Lineare Abbildungen
Wer Vektorräume studiert, muss sich zugleich mit linearen Abbildungen zwischen ihnen auseinander setzen.
Erst lineare Abbildungen ermöglichen es, verschiedene Vektorräume
wirklich miteinander zu vergleichen.
Zugleich helfen sie, Unterräume zu konstruieren und zu analysieren.
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Definition linearer Abbildungen
Definition Es seien V und W Vektorräume über R (oder allgemeiner
über einem Körper K).
Eine Abbildung f : V → W heißt linear, wenn gilt:
(L1) f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) für alle v1, v2 ∈ V .
(L2) f (a.v) = a.f (v) für alle v ∈ V und a ∈ R (bzw. a ∈ K.)
Wir können die Bedingungen (L1) und (L2) zu einer einzigen Bedingung zusammenfügen:
(L) f (a1.v1 + a2.v2) = a1.f (v1) + a2.f (v2)
für alle a1, a2 ∈ R (bzw. K) und alle v1, v2 ∈ V .
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Eigenschaften linearer Abbildungen
Sei f : V → W eine lineare Abbildung ∗. Dann gilt:
(1) f (0V ) = 0W
(2) f (−v) = −f (v)
(3) f (a1.v1 + · · · + at.vt) = a1.f (v1) + · · · + at.f (vt).
Diese Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus (L1) und (L2).
Insbesondere überführt (3) eine lineare Abbildung f : V → W die
Menge hv1, v2, . . . , vti der Linearkombinationen der v1, v2, . . . , vt in die
Menge hf (v1), . . . , f (vt)i. Somit f (hv1, v2, . . . , vti) = hf (v1), . . . , f (vt)i .
∗ Diese
Redeweise unterstellt, dass V und W Vektorräume sind.
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Die Summe linearer Abbildungen
Satz Sind f, g : V → W lineare Abbildungen, so auch die Abbildung
f + g : V → W , v 7→ f (v) + g(v).
Beweis. Es ist zu zeigen, dass die durch h(v) = f (v) + g(v) (für
v ∈ V ) erklärte Abbildung linear ist. Nun ist
h(x + y)
Def.
=
linear
=
=
h(a.x)
Def.
=
linear
=
Def.
=
f (x + y) + g(x + y)
(f (x) + f (y)) + (g(x) + g(y))
Def.
(f (x) + g(x)) + (f (y) + g(y)) = h(x) + h(y)
(f (a.x) + g(a.x))
a.f (x) + a.g(x)
a.h(x).
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Skalare Vielfache linearer Abbildungen
Satz Ist f : V → W eine lineare Abbildung und a ∈ R, so ist auch
a.f : V → W , v 7→ a.f (v) eine lineare Abbildung.
Beweis. Es ist zu zeigen, dass die durch h(v) := a.f (v) (für v ∈ V )
erklärte Abbildung linear ist. Es gilt
h(x + y)
Def.
=
(M 1)
=
h(b.x)
Def.
=
(M 3)
=
linear
=
a.f (x + y)
linear
=
a.(f (x) + f (y))
Def.
a.f (x) + a.f (y) = h(x) + h(y)
f (a.(b.x))
f ((a · b).x)
ab=ba
=
f (b.(a.x))
Def.
b.f (a.x) = b.h(x).
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Beispiele linearer Abbildungen I
(a) Sind V und W Vektorräume, so ist die Nullabbildung f : V → W
mit f (v) = 0W für alle v ∈ V eine lineare Abbildung.
(b) Ist V ein Vektorraum, so ist die identische Abbildung
1V : V → V,
v 7→ v
linear.
(c) Sind v1, v2, v3 Vektoren des R-Vektorraums V , so ist die Abbildung

f : R3 −→ V,

x1


7 x1.v1 + x2.v2 + x3.v3
 x2  →
x3
linear.
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Lineare Abbildungen f : R → R3
Satz.
→ R3 gibt es einen Vektor
 Zujeder linearen Abbildung
 f : R
v1
a · v1




v =  v2  ∈ R3, so dass f (a) =  a · v2  gilt D.h. f (a) = a.v.
v3
a · v3
Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear.
Beweis. Wegen (L 2) gilt f (a) = f (a.1) = a.f (1) für alle a ∈ R.
Mit v := f (1) ist dann die obige Behauptung erfüllt.
Bemerkung. Der Satz und sein Beweis gelten ebenfalls für Rn anstelle von R3. Wir diskutieren anschließend den Spezialfall n = 1.
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Spezialfall: Lineare Abbildungen f : R → R
Vorweg: R ist selbst ein Vektorraum (Spezialfall des Rn für n =
1). Es macht daher Sinn, die linearen Abbildungen f : R → R zu
untersuchen.
Satz. Zu jeder linearen Abbildung f : R → R gibt es ein v ∈ R,
nämlich v := f (1), so dass f (a) = a · v für jedes a ∈ R gilt.
Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear.
Lineare Abbildungen f : R → R sind daher durch ein einziges Datum,
die Zahl v = f (1), eindeutig bestimmt.
Auf der nächsten Folie bestimmen wir allgemeiner die linearen Abbildungen von R3 nach R.
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Lineare Abbildungen von R3 nach R
Satz. Zu 
jederlinearen Abbildung f : R3 → R gibt es a1, a2, a3 ∈ R,
x1


so dass f  x2  = a1 · x1 + a2 · x2 + a3 · x3 gilt.
x3
Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear.
Beweis “ =⇒ ”. Sei e1 , e2 , e3 die Standardbasis des R3 . Wir setzen a1 := f (e1 ),
a2 := f (e2 ), a3 := f (e3 ). Aus der Linearität von f folgt:


x1
f  x2  = f (x1 .e1 + x2 .e2 + x3 .e3 )
x3
= x1 · f (e1 ) + x2 · f (e2 ) + x3 · f (e3 )
= x1 · a 1 + x2 · a 2 + x3 · a 3 .
“⇐” Es ist leicht zu sehen, dass für jede Vorgabe von a1 , a2 , a3 die obige Formel
eine lineare Abbildung f definiert.
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Lineare Abbildungen von R3 nach V
V sei ein R-Vektorraum. Wir diskutieren eine Erweiterung des vorangehenden Satzes.
Satz. Zu jeder linearen Abbildung f : R3 → V gibt es Vektoren
v1, v2, v3 aus V , so dass für jeden Vektor x ∈ R3 mit den Koordinaten
x1, x2, x3 die Formel


x1


f  x2  = x1.v1 + x2.v2 + x3.v3
x3
gilt.
Umgekehrt ist für jede Vorgabe von v1, v2, v3 die mit obiger Formel
definierte Abbildung f : R3 → V linear.
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Wie finden wir v1, v2, v3?
Beweis. (a) f : R3 → V sei als lineare Abbildung gegeben . Wir wenden f auf die Standardbasis e1, e2, e3 von R3 an und setzen
v1 = f (e1), v2 = f (e2), v3 = f (e3).
Es folgt dann


x1

 Basisdarstellung
f  x2 
=
f (x1.e1 + x2.e2 + x3.e3)
x3
f linear
=
Def
=
x1.f (e1) + x2.f (e2) + x3.f (e3)
x1.v1 + x2.v2 + x3.v3.
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Wie finden wir f ?
(b) Gegeben sind jetzt irgendwelche Vektoren v1, v2, v3 aus V .
Wir definieren f : R3 → V durch die Vorschrift


x1


f  x2  = x1.v1 + x2.v2 + x3.v3.
x3
Es folgt durch einfache Rechnung, dass f linear ist.
Wir merken uns: Lineare Abbildungen des R3 nach V entsprechen
eins-zu-eins Tripeln (v1, v2, v3) von Vektoren aus V .
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Rückblick und Ausblick: f : Rn → V
Wenn wir die verwendeten Argumente anschauen ist klar, dass wir
den schreibtechnisch bequemen R3 durch einen Vektorraum Rn, für
beliebiges n, ersetzen können, und die Aussage entsprechend gilt:
Satz Eine lineare Abbildungen f : Rn → V entspricht umkehrbar
eindeutig einem n-Tupel (v1, v2, . . . , vn) von Vektoren aus V .
(1) Einer gegebenen linearen Abbildung f wird das n-Tupel
(f (e1), . . . , f (en)) zugeordnet.
(2) Einem n-Tupel (v1, v2, . . . , vn) entspricht umgekehrt die AbbilPn
dung f mit f (x1, . . . , xn) auf i=1 xi.vi schickt.
Kommentare: (1) Aus platztechnischen Gründen haben wir Vektoren des Rn hier in Zeilenform (x1, x2, . . . , xn) geschrieben.
(2) Dieser Satz umfasst alle vorweg diskutierten Spezialfälle. Nur
diesen Satz müssen wir uns daher wirklich merken.
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Das Bild einer linearen Abbildung
Sei f : V → W eine lineare Abbildung.
Satz Es gilt:
(1) Das Bild f (V ) von f
Bezeichnung: Bild(f ) := f (V ) .
ist
ein
Unterraum
von
W.
(2) Ist ferner v1, v2, . . . , vt ein Erzeugendensystem von V (zum Beispiel eine Basis von V ) so ist Bild(f ) = hf (v1), . . . , f (vt)i.
(3) Eine lineare Abbildung f : V → W überführt daher ein Erzeugendensystem (v1, v2, . . . , vt) von V in ein Erzeugendensystem
(f (v1), . . . , f (vt)) von Bild(f ).
Wir begründen diese Aussagen auf der nächsten Folie.
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Bilder von Unterräumen
Die Behauptung (1) ist abgedeckt durch folgenden einfach zu beweisenden Satz:
Satz Ist f : V → W eine lineare Abbildung und U ein Unterraum von
V , so ist f (U ) = {f (u) | u ∈ U } ein Unterraum von W .
(2) folgt aus der früher gezeigten Aussage
f (hv1, v2, . . . , vti) = hf (v1), . . . , f (vt)i.
(3) ist eine Umformulierung von (2).
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