1 Basics: Vektorräume 2 Lineare Unabhängigkeit, Basis und

3. Quiz zur Linearen Algebra 1 - Gruppe 5 (Kai)
19. Juli 2016
Name, Vorname:
Bermerkung: Im Folgenden sei K stets ein Körper. Mit 1K bezeichne das neutrale Element
bezüglich der Multiplikation und mit 0K das neutrale Element bezüglich der Addition. Falls
nicht erwähnt, sei V stets ein K-Vektorraum. Ferner bezeichne in einem K-Vektorraum V mit
0V das neutrale Element bezüglich der Addition. Man überlege sich nach Möglichkeit zu folgenden
Fragen auch ein Beispiel, welches die entsprechende Aussage widerlegt oder unterstreicht. Viel
Erfolg!
1
Basics: Vektorräume
1. Jeder K-Vektorraum V ist insbesondere eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition von Elementen
aus V .
Wahr
Falsch
2. K ist selbst ein K-Vektorraum.
Wahr
Falsch
3. Sei L ein weiterer Körper mit K ⊆ L und V ein K-Vektorraum. Dann ist V auch ein L-Vektorraum.
Wahr
Falsch
4. Sei L ein weiterer Körper mit K ⊆ L und V ein L-Vektorraum. Dann ist V auch ein K-Vektorraum.
Wahr
Falsch
5. Sei K-Vektorräume V und W sind genau dann isomorph zueinander, wenn es eine bijektive Abbildung
f : V → W gibt, welche K-linear ist.
Wahr
Falsch
6. Sei K ein unendlicher Körper. Dann gibt es einen endlichen K-Vektorraum V mit mindestens 2 Elementen.
Wahr
Falsch
7. Ist K ein endlicher Körper, so existiert ein unendlicher K-Vektorraum.
Wahr
Falsch
8. Sei V ein K-Vektorraum. Sind v ∈ V und a, b ∈ K mit a · v = b · v, so ist bereits a = b.
Wahr
2
Falsch
Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
9. Sei V ein K-Vektorraum und vi ∈ V für 1 ≤ i ≤ n. Dann sind die vi ’s genau dann linear abhängig über
K, wenn es Koeffizienten ai ∈ K für 1 ≤ i ≤ n gibt, mit a1 · v1 + . . . + an · vn = 0V .
Wahr
Falsch
10. Sei V ein K-Vektorraum und v1 , v2 , v3 ∈ K. Hat die Gleichung a1 · v1 + a2 · v2 + a3 · v3 = 0V nur die
Lösung a1 = a2 = a3 = 0K , so nennen wir die Vektoren v1 , v2 , v3 linear unabhängig über K.
Wahr
Falsch
11. Zwei Elemente v, w eines K-Vektorraums V sind genau dann linear unabhängig, wenn sie keine Vielfachen
voneinander sind.
Wahr
Falsch
12. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Menge, welche den Nullvektor 0V enthält, ist stets linear abhängig über
K.
Wahr
Falsch
13. Die Vektoren (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) ∈ F32 sind linear abhängig über F2 .
Wahr
Falsch
14. Die Vektoren (0, 1), (1, 1), (2, −5) ∈ R2 sind linear unabhängig über R.
Wahr
Falsch
15. Jede Basis eines K-Vektorraums V ist auch ein Erzeugendensystem von V .
Wahr
Falsch
16. Jede linear unabhängige Teilmenge eines K-Vektorraums V ist auch ein Erzeugendensystem von V .
Wahr
Falsch
17. Zwei Basen eines Vektorraums sind stets gleichgroß.
Wahr
Falsch
18. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
Wahr
Falsch
19. Die Dimension eines K-Vektorraums V ist gleich die größte Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus
V.
Wahr
Falsch
20. Jedes minimale Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist schon eine Basis für diesen.
Wahr
Falsch
21. Es existiert eine bijektive R-lineare Abbildung zwischen R3 und R2 .
Wahr
Falsch
22. Es ist dimK (K n ) = n und K n ∼
= V genau dann, wenn dimK (V ) = n.
Wahr
3
Falsch
Matrizen, lineare Abbildungen und Diagonalisierbarkeit
23. Sei B eine Basis von V und f eine K-lineare Abbildung von V in sich selbst. Dann besitzt f genau dann
eine inverse Abbildung f −1 , wenn die Darstellungsmatrix B fB invertierbar ist.
Wahr
Falsch
24. Sei f : V → W eine K-lineare Abbildung. Dann ist Kern(f ) = {v ∈ V | f (v) = 0V } ein Untervektorraum
von V .
Wahr
Falsch
Page 2
25. Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält.
Wahr
Falsch
26. Sei f : R3 → R5 eine R-lineare Abbildung und B bzw. B 0 seien Basen von R3 bzw. R5 . Dann ist
B 0 fB ∈ M atR (3, 5).
Wahr
Falsch
27. Jede invertierbare Matrix A ∈ M atK (n, n) besitzt vollen Rang.
Wahr
Falsch
28. Jede Matrix A ∈ M atK (n, n) ist diagonalisierbar.
Wahr
Falsch
29. Für Matrizen A ∈ M atK (m, n) und B ∈ M atK (n, m) gilt det(AB) = det(A)det(B).
Wahr Falsch
1 3
30. Sei A =
∈ M atR (2, 2). Dann ist det(A) = 1 · 2 − 2 · 3 = −4 und somit A invertierbar.
2 2
Wahr
Falsch
31. Für Matrizen A, B ∈ M atK (n, n) gilt det(A + B) = det(A) + det(B).
Wahr
Falsch
32. Ein Vektor 0V 6= v ∈ K n ist genau dann ein Eigenvektor von A ∈ M atK (n, n), wenn es ein λ ∈ K gibt,
mit v ∈ Kern(A − λIn ).
Wahr
Falsch
33. Die Einheitsmatrix In ∈ M atK (n, n) ist diagonalisierbar.
Wahr
Falsch
34. Sei A ∈ M atK (n, n). Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A sind genau die Eigenwerte
von A.
Wahr
Falsch
35. Sei A ∈ M atK (4, 4). Besitzt A vier verschiedene Eigenwerte, so ist A bereits diagonalisierbar.
Wahr
Falsch
36. Sei A ∈ M atR (3, 3). Dann besitzt A mindestens einen Eigenwert.
Wahr
Falsch
37. Sei A ∈ M atQ (2, 2). Dann besitzt A mindestens einen Eigenwert.
Wahr
Falsch
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