Multiple Choice Fragen (max. 8 Punkte)

Lineare Algebra II
FS 2011
Serie 22
1
Lineare Algebra II, Serie 22
Prof. Dr. Anand Dessai
Lösungen abgeben bis Donnerstag 5. Mai, 16H00
Aufgabe 1. (4 Punkte)
Sei V ein beliebiger reellerpVektorraum und h , i : V × V → R ein Skalarprodukt auf V mit
Norm k · k : V → R, v 7→ hv, vi, und Metrik d : V × V → R, d(v, ṽ) := kṽ − vk. Zeigen Sie:
a) hv, wi = 12 (kv + wk2 − kvk2 − kwk2 ) für alle v, w ∈ V .
b) kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 für alle v, w ∈ V .
c) d(v, z) ≤ d(v, w) + d(w, z) für alle v, w, z ∈ V .
d) d(v, z) ≥ |d(v, w) − d(w, z)| für alle v, w, z ∈ V .
Aufgabe 2. (4 Punkte)
a) Sei V := C([0, 2π], R) := {f : [0, 2π] → R, f stetig} der reelle unendlich-dimensionale
Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [0, 2π] und sei
h , i : V × V → R,
1
hf, gi :=
π
2π
Z
f (t) · g(t) dt.
0
Zeigen Sie: hcos t, sin ti = 0
b) Zeigen Sie:
R 2π
0
(e3t · | cos 2t|)dt ≤
qR
2π
0
cos2 2t dt ·
qR
2π
0
e6t dt
Multiple Choice Fragen (max. 8 Punkte)
Wählen Sie alle richtigen Antworten. In einer Aufgabe können mehrere Antworten richtig
sein. Für jede richtig angekreuzte Antwort wird 1/2 Punkt gegeben, für jede falsch angekreuzte
Antwort wird 1/2 Punkt abgezogen. Insgesamt werden für den Multiple Choice Teil mindestens
0 Punkte vergeben.
Aufgabe 3.
Sei V ein K-Vektorraum V der Dimension n ≥ 1 und F : V → V ein Endomorphismus. Dann
ist λ ∈ K ein Eigenwert, wenn
a) es einen Vektor v ∈ V gibt mit F (v) = λ · v.
b) es einen Vektor v ∈ V , v 6= 0, gibt mit F (v) = λ · v.
c) λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms pF ist.
d) λ eine Nullstelle des Minimalpolynoms MF ist.
Lineare Algebra II
Serie 22
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Aufgabe 4.
Sei A ∈ M (n × n; K) eine quadratische Matrix mit Einträgen in einem Körper K, n ≥ 1. Dann
ist A trigonalisierbar, wenn
a) es S ∈ Gln (K) gibt, so dass SAS −1 eine obere Dreiecksmatrix ist.
b) K = R ist.
c) K ein algebraisch abgeschlossener Körper (z.B. K = C) ist.
d) das charakteristische Polynom pA in Linearfaktoren zerfällt.
Aufgabe 5.
Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1 und F : V → V ein Endomorphismus. Dann
besitzt F einen Eigenwert λ ∈ K, wenn
a) K = C ist.
b) K = C und n gerade ist.
c) K = R ist.
d) K = R und n ungerade ist.
Aufgabe 6.
Sei A ∈ M (3 × 3, R) eine Matrix mit A100 = 0. Dann gilt:
a) A2 = 0 b) A3 = 0 c) A4 = 0
d) es gibt eine invertierbare Matrix X ∈ M (3×3; R), sodass XAX −1 eine obere Dreiecksmatrix
ist mit lauter Nullen in der Diagonalen.
e) pA = −MA = −t3 .
Aufgabe 7.
Sei F : C8 → C8 eine lineare Abbildung mit pF = (t − 2) · (t + 5)4 · (t − 10)3 und MF =
(t − 2) · (t + 5)2 · (t − 10)2 . Dann ist die Anzahl der möglichen Jordan-Normalformen für F
gleich
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8
Aufgabe 8.
Sei f = t3 − t2 + t − 4 ∈ C[t] und g = t2 + 1. Dann ist der Rest r nach Division von f durch g
gleich
a) t3 − t2 + t − 4 b) t2 + 1 c) 0 d) −3
Aufgabe 9.
Sei K = Z/3Z, f = t3 − t2 + t − 4 ∈ K[t] und g = t2 + 1. Dann ist der Rest r nach Division
von f durch g gleich
a) t3 − t2 + t − 4 b) t2 + 1 c) 0 d) t
Aufgabe 10.
Sei I ⊂ C[t] das Ideal I := {p ∈ C[t] | p(0) = p(3) = 0}. Dann wird I erzeugt von dem
Polynom
a) t b) t − 3 c) t2 − 3t d) 0