P11 - Universität Bielefeld

Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
11. PRÄSENZÜBUNGSBLATT
PROF. DR. HENNING KRAUSE
DR. JULIA SAUTER
Aufgabe 1. Wir betrachten die lineare Abbildung
f : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (0, x + 2y, −3z + x)
(a) Finden Sie eine Basis von Ker(f ).
(b) Zeigen Sie, dass {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ein Erzeugendensystem von Im(f ) ist. Finden Sie
dann eine Basis von Im(f ).
Aufgabe 2. Sei K ein Körper , n ∈ N und V ein K-Vektorraum. Es sei f : K n → V eine lineare
Abbildung. Zeigen Sie: Es gibt eine Teilmenge I ⊆ {1, . . . , n}, so dass {f (ei ) | i ∈ I} eine Basis
von Im(f ) ist.
Aufgabe 3. Es seien V ein Vektorraum über einem Körper und U1 ⊆ V, U2 ⊆ V zwei Unterräume.
Wir nehmen an, dass V = U1 +U2 und U1 ∩U2 = {0} gilt. Dann gibt es die Projektion p : V → U2 ,
die v = u1 + u2 mit u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 auf p(v) = u2 abbildet. Dies ist eine lineare Abbildung.
(a) Zeigen Sie, dass p surjektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass Ker(p) = U1 gilt und folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass
p : V /U1 → U2 ,
v + U1 7→ p(v)
eine bijektive lineare Abbildung ist.
Aufgabe 4. Es sei K ein Körper und n, m ∈ N.
(a) Es sei f : K n → K m die lineare Fortsetzung der Abbildung f (ei ) = e1 , 1 ≤ i ≤ n. Finden
Sie eine Basis von Ker(f ).
(b) Sei f : K n → K m eine lineare Abbildung. Ist {ei | f (ei ) = 0} immer ein Erzeugendensystem von Ker(f )?
1