LINEARE ALGEBRA I 12. PR ¨ASENZ ¨UBUNGSBLATT
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Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
12. PRÄSENZÜBUNGSBLATT
PROF. DR. HENNING KRAUSE
DR. JULIA SAUTER
Nehmen Sie die folgende Bemerkung zur Kenntnis, eine Besprechung ist nicht notwendig.
Bemerkung. Sei K ein Körper. Seien V, W zwei K-Vektorräume, dann ist V × W ein KVektorraum mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation: Für v, v 0 ∈ V, w, w0 ∈
W, λ ∈ K setze
(v, w) + (v 0 , w0 ) := (v + v 0 , w + w0 ),
λ(v, w) := (λv, λw).
Sei K ein Körper und m ∈ N. Auf diesem Blatt sehen wir den Standardraum K m als Spaltenraum
an, das heißt
x1
x2
K m := {
... | xi ∈ K}.
xm
Für n, m ∈ N definieren wir den Vektorraum der m × n-Matrizen als
m
(K m )n := K
· · × K m}
| × ·{z
n−mal
mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir schreiben die Elemente
(v1 , . . . , vn ) ∈ (K m )n auch in der Form
x11 x12 · · · x1n
x1i
x21 x22 · · · x2n
x
wobei vi = .2i .
(v1 , . . . , vn ) =
.
.
.
.
..
..
..
..
..
xm1 xm2 · · ·
xmn
xmi
Aufgabe 1. Wir definieren
Φ : HomK (K n , K m ) → (K m )n
f 7→ (f (e1 ), . . . , f (en ))
Wir nennen Φ(f ) die darstellende Matrix von f in den Standardbasen.
(a) Zeigen Sie, dass Φ eine lineare Abbildung ist.
(b) Wir definieren
Ψ : (K m )n → HomK (K n , K m )
A = (v1 , . . . , vn ) 7→ (fA : K n → K m )
lineare Fortsetzung von fA (ei ) = vi
Zeigen Sie, dass dies die inverse Abbildung von Φ ist. Folgern Sie, dass Φ ein Isomorphismus ist.
1
Aufgabe 2.
(a) Wir betrachten die linearen Abbildungen vom Übungsblatt 9, Aufgabe 4.
x
y
x
x
x
−y
s : R2 → R2 ,
7→
, d : R2 → R2 ,
7→
, p : R3 → R3 , y 7→ z .
y
−y
y
x
z
x
Berechnen Sie Φ(s), Φ(d) und Φ(p).
(b) Für 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2 sei ϕij : K 2 → K 3 die lineare Fortsetzung der Abbildung
(
ei , falls k = j
ϕij (ek ) =
.
0 , falls k 6= j
Berechnen Sie Φ(ϕij ).
Aufgabe 3. Sei K = Q. Wir betrachten
1 0
A = 2 5
3 7
B=
und
0 1 2 0
.
0 0 0 1
(a) Nach Definition ist fA : Q2 → Q3 eine lineare Abbildung. Berechnen Sie fA ( −1
2 ).
(b) Finden Sie eine Basis für Ker(fB ).
Aufgabe 4. Sei K ein Körper. Es sei f ∈ HomK (K 2 , K 2 ), f (e1 ) = v1 , f (e2 ) = v2 mit
a c
Φ(f ) = (v1 , v2 ) =
.
b d
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(1)
(2)
(3)
(4)
f ist bijektiv
f ist injektiv
v1 , v2 sind linear unabhängig
ad − bc 6= 0
Hinweis: Auf einem früheren Übungsblatt wurde gezeigt, dass v1 , v2 genau dann linear abhängig
sind, wenn ad − bc = 0 gilt.
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