Lineare Algebra I

Prof. Dr. Oleg Bogopolski
Thomas Leßmann
Abgabe Mi, 23.06, 11 Uhr
Lineare Algebra I
Übungsblatt 10
Aufgabe 1
Wir betrachten das Gleichungssystem
x + 2y + 3z = 123
2x + 3y + 4z = 234.
 
x
über R. Finden Sie eine spezielle Lösung X0 = y  und mit Hilfe des Satzes 16.1.2 des
z
Kurzskriptes alle Lösungen.
Aufgabe 2
Nach dem Existenz und Eindeutigkeitssatz (für lineare Abbildungen) 15.1.8 des Kurzskriptes
gibt es genau eine lineare Abbildung ϕ : R3 → R2 mit
 
 
 
0
0
1
2
−1
3






.
und ϕ 1 =
,ϕ 0 =
ϕ 0 =
−2
4
7
0
1
0
2
Bestimmen Sie für diese Abbildung die Darstellungsmatrix [ϕ]B
B1 bezüglich der Basen
     
−1
0 
 1
1
1
.
B1 = 2 ,  3  , 4 und B2 =
,
2
3


1
2
3
Aufgabe 3

1
1
(a) Berechnen Sie det 
1
1
2
2
2
1
3
3
2
1

4
3
.
2
1
(b) Sei für n ∈ N die folgende Matrix

1
1

1


An =  ...

1

1
1
defniert:
2 3 ...
2 3 ...
2 3 ...
.. ..
. .
2 3 ...
2 0 ...
0 0 ...

n−1 n
n − 1 0

0
0

..
..  .
.
.

0
0

0
0
0
0
Berechnen Sie det An für n = 1, 2, 3, 4.
(c) Geben Sie eine explizite Formel für det An mit n ∈ N an und beweisen Sie diese.
Bemerkung: Sei K ein Körper, A ∈ M (m, n, K) und B ∈ M (l, n, K) mit m, n, l ∈ N.
Sei U1 = {x ∈ K n | A · x = 0} und U2 = {x ∈ K n | B · x = 0}. Dann sind U1 , U2 zwei
Untervektorräume in K n und es gilt
A·x=0
n
U1 ∩ U2 = {x ∈ K |
}.
B·x=0
Aufgabe 4
(a) Wie in Aufgabe 1 von Tutorium 6 (siehe Kurzskript) betrachten wir die Untervektorräume
U1 = L(v1 , v2 ), U2 = L(u2 , u2 ) von R3 , wobei
 
 
 
 
−1
1
1
2
v1 =  0  , v2 = 1 , u1 = −1 und u2 = −1 .
1
0
1
3
Finden Sie Matrizen A, B ∈ M (1, 3, R), so dass
U1 = x ∈ R3 | A · x = 0 und
U2 = x ∈ R 3 | B · x = 0 .
(b) Benutzen Sie die Bemerkung und Aufgabenteil (a) um U1 ∩ U2 zu bestimmen.
Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteil (a) nicht gelöst haben, verwenden Sie in (b) die Matrizen
A = 1 −1 1 und B = −2 −1 1 .
Aufgabe 5
Die Fibonnaci-Folge u1 , u2 , u3 , . . . ist definiert durch
u1 = 1, u2 = 1 und uk+1 = uk + uk−1 für k > 2.
Also u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, . . ..
(a) Geben Sie eine Matrix A ∈ M (2, R) an, so dass
uk
uk+1
=A·
uk−1
uk
für k > 1 gilt.
(b) Beweisen Sie für k > 1 die Gleichung
uk+1
k−1 1
=A
.
1
uk
(c) Finden Sie reele Zahlen λ1 , λ2 ∈ R, so dass
λ1 0
−1
A=T ·
· T für T =
0 λ2
1
1
√ !
−1− 5
2√
−1+ 5
2
gilt.
(d) Sei K ein Körper und A, B, T ∈ M (n, n, K) mit T invertierbar. Beweisen Sie, dass
aus A = T −1 · B · T folgt, dass Ak = T −1 · B k · T für k ∈ N gilt.
(e) Leiten Sie aus (a) bis (d) eine explizite Formel für uk ab.