Universität Würzburg Institut für Mathematik Prof. Dr. P. Müller Dr. J

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. P. Müller
Dr. J. König
Dr. T. Hoheisel
WS 2014/15
Lineare Algebra I
Probeklausur
Dieses Blatt wird nicht bewertet und ist nicht abzugeben! Versuchen Sie dieses Blatt selbstständig und unter
Klausurbedingungen (innerhalb von 90 Minuten) zu lösen.
1. (Gruppen, Matrizen) Sei K ein Körper und X ∈ K n×n . Zeigen Sie, dass die Menge
U := {A ∈ GLn (K) | At XA = X}
mit der bekannten Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.
2. (Lineare Abbildungen) Sei RN = {(a1 , a2 , . . . ) | ∀i ∈ N : ai ∈ R} der RVektorraum der reellen Zahlenfolgen und φ : RN → RN definiert durch
φ ((a1 , a2 , . . . )) = (0, a1 , a2 , . . . ).
(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist.
(b) Bestimmen Sie Kern φ und Bild φ. Ist φ surjektiv/injektiv?
3. (Lineare Abbildungen, Matrizen) Sei F : Rn×n → Rn×n gegeben durch
F (A) := A + At .
(a) Zeigen Sie, dass F linear ist.
(b) Berechnen Sie Kern und Bild von F und geben Sie deren Dimensionen an.
– Bitte Wenden –
4. (Matrizen) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen über quadratische Matrizen A, B ∈ K n×n .
(a) Existiert ein m ∈ N mit Am = 0, so ist A nicht invertierbar.
(b) Ist AB = 0, so gilt BA = 0.
(c) det(A) + det(B) = det(A + B).
(d) Ist A symmetrisch und invertierbar, so ist A−1 symmetrisch.
5. (Rang und Inverse einer Matrix) Für

1
A := 0
0
welche r ∈ R ist die Matrix

r 1
r 1
1 1
invertierbar? Bestimmen Sie A−1 für die Fälle, bei denen dies möglich ist.
6. (Determinante)
(a) Seien n ∈ N ungerade und A, B ∈ Rn×n mit AB = −BA. Zeigen Sie, dass
(mindestens) eine der Matrizen A oder B nicht-invertierbar ist.
(b) Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und φ : V → K n linear. Sei ferner
{b1 , . . . , bn } eine Basis von V . Zeigen Sie, dass φ genau dann bijektiv ist, wenn
det(φ(b1 ), . . . , φ(bn )) 6= 0.
Viel Erfolg!