1 Check-Liste Analysis

1
1 Check-Liste Analysis
1.1 Mengen und Abbildungen
Wann heit eine Menge reeller Zahlen beschrankt? oen? abgeschlossen?
kompakt?
Was ist das Supremum (Inmum) Maximum (Minimum) einer Teilmenge
von R?
Was ist der Unterschied zwischen Maximum und Supremum?
Besitzt jede Menge reeller Zahlen ein Maximum, bzw. ein Supremum?
Beispiele?
Was bedeutet der Satz 'Q liegt dicht in R'?
1.2 Folgen und Reihen
Was bedeutet Konvergenz von Folgen?
Was bedeutet Konvergenz von Reihen?
Wie hangen beide Begrie zusammen?
Was ist der Unterschied zwischen einer Cauchy-Folge und einer konvergenten Folge? Beispiele?
Was ist die geometrische Reihe? Wo konvergiert sie, und wogegen?
Warum divergiert die harmonische Reihe?
P
Fur welche s 2 R konvergiert n1 n s?
Was besagt der Satz von Bolzano-Weierstra?
Welche Konvergenzkriterien gibt es? Die wichtigsten sind:
{ Cauchy-Kriterium
{ Monotonie-Kriterium
{ Quotientenkriterium (wie beweist man das?)
{ Leibniz-Kriterium
{ Integral-Kriterium
Was ist absolute, was bedingte Konvergenz?
Warum ist der Begri der absoluten Konvergenz so wichtig?
Was besagt der Riemannsche Umordnungssatz
1 CHECK-LISTE ANALYSIS
2
Potenzreihenentwicklung von ex ; sinx; cos x; Zusammenhang (Eulersche
Formel)?
Potenzreihenentwicklung von ln x? Wie kann man sie herleiten? Welchen
Konvergenzradius hat sie? Warum ist ln 2 = 1 21 + 31 41 .. .?
(Grenzwertsatz von Abel)
Warum wird uber die kleinste positive Nullstelle von cos x deniert und
nicht uber Flacheninhalt oder Umfang eines Kreises? Wie hangen diese
Denitionen zusammen?
Wie deniert man ax fur a; x 2 R; a > 0?
1.3 Stetige Funktionen
Man verinnerliche sich die wichtigsten Satze uber stetige Funktionen auf
Intervalle, auch anhand von Zeichnungen und Beispielen, als da waren:
{ Der Nullstellensatz von Bolzano
{ Der Zwischenwertsatz von Bolzano (wie folgt dieser aus dem Nullstellensatz?)
{ Der Satz uber Maxima (gilt allgemein fur stetige Funktionen auf
kompakte Mengen)
Wie hangen diese Satze mit der Vollstandigkeit von R zusammen? Man
verschae sich Gegenbeispiele fur Funktionen f : Q ! Q (Die beiden
Funktionen f (x) = x2 2 und f (x) = jx2 2j tun's.)
Unter welchen Bedingungen existiert eine Umkehrfunktion?
1.4 Die Ableitung
Wie ist die Ableitung deniert? Ist jede dierenzierbare Funktion stetig,
oder jede stetige dierenzierbar?
Was besagt die Produkt- Kettenregel? Welche Satze fur das Integral folgen
daraus?
Was besagt der Mittelwertsatz?
Man bestimme alle Losungen von y'=0 (mit Beweis!)
Regel von l'Hopital?
Ist f dierenzierbar auf einem Intervall I, und gilt f 0 0 auf I , dann ist
f monoton wachsend. Beweis?
Wie ndet man lokale Extrema?
1 CHECK-LISTE ANALYSIS
1.5 Potenzreihen
3
Wie lautet die Taylorentwicklung einer Funktion? Konvergiert jede Tay-
lorentwicklung? Wenn ja, wogegen?
Was ist der 'Konvergenzradius' einer Potenzreihe?
Darf man Potenzreihen ableiten? Integrieren?
Wie lautet der Identitatssatz?
Was besagt der Abelsche Grenzwertsatz?
1.6 Integralrechnung
Wie ist das Riemann-Integral deniert?
Gibt es nicht integrierbare Funktionen?
Wie lautet der Hauptsatz der Integralrechnung?
Was besagt der Mittelwertsatz?
Hat jede stetige Funktion eine Stammfunktion?
Substitutionsregel!
1.7 Fourierreihen (Fur Physiker)
Was versteht man unter der Fourierentwicklung einer Funktion?
Wie kann man Fourierkoezienten berechnen?
Wie sind Skalarprodukte auf Funktionsrame deniert?
Was ist ein Orthonormalsystem?
1.8 Dierentialrechnung mehrerer Variablen
Wie sind Funktionen Rm ! Rn gegeben?
Wie kann man sie veranschaulichen?
Was ist der Graph einer Funktion? Was sind Niveaulinien?
Denition der Ableitung?
Was ist die Jacobi-Matrix?
Was ist ein Gradient?
1 CHECK-LISTE ANALYSIS
4
Wie hangen Dierenzierbarkeit und die Existenz partieller Ableitungen
zusammen?
Was sagt der Satz von Schwarz?
Wie lautet die Kettenregel? Gibt es eine Produktregel?
Welche notwendigen Bedingungen fur lokale Extrema gibt es? Existieren
auch hinreichende Bedingungen?
Wie kann man nachprufen, da eine Matrix positiv denit ist?
Warum hat die Hesse-Matrix reelle Eigenwerte?
Wie kann man Extrema unter Nebenbedingungen nden? (Stichwort)
Was besagt der Satz uber implizite Funktionen (anschaulich)?
2 CHECK-LISTE LINEARE ALGEBRA
5
2 Check-Liste Lineare Algebra
2.1 Vektorraume
Wodurch sind Vektorraume charakterisiert?
Beispiele von Vektorramen und Korpern?
Denition der linearen Unabhangigkeit
Was ist eine Basis? Besitzt jeder VR eine Basis?
Denition der Dimension
Basiserganzungssatz
Was ist ein Teilraum?
2.2 Lineare Gleichungssysteme
Wie kann man ein LGS durch Matrizen darstellen?
Was sind homogene/inhomogene Systeme?
Welche Struktur besitzt die Losung des homogenen Systems?
Wie sehen die Losungen des inhomogenen Systems aus?
Ist Ax = 0 ein LGS, und ist A invertierbar, so hat das System genau eine
Losung. Beweis?
Wie lost man ein gegebenes LGS?
Was bedeuten Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix? Konnen diese sich
unterscheiden?
2.3 Lineare Abbildungen
Wie sind lineare Abbildungen deniert?
Lineare Abbildungen sind durch Bilder auf einer Basis festgelegt
Was sind Kern und Bild einer linearen Abbildung? Warum sind dies Vektorraume?
Was sagt die Dimensionsformel fur lineare Abbildungen? Beweisidee?
Wie kann man lineare Abbildungen durch Matrizen beschreiben?
Was passiert bei einem Basiswechsel?
2 CHECK-LISTE LINEARE ALGEBRA
6
Was ist GLn (V ), die allgemeine lineare Gruppe?
Was sind Projektionen? Spiegelungen? Drehungen?
Wann heien zwei Matrizen ahnlich?
2.4 Determinanten
Wie kann man Determinanten denieren?
Was ist det(AB )? Beweisidee fur det(AB ) = det A det B ?
Was besagt der Laplacesche Entwicklungssatz?
Cramersche Regel
Wie hangen det A, die Invertierbarkeit von A, und die Eigenwerte von A
zusammen?
2.5 Eigenwerte
Wann heit ein Teilraum U V invariant unter einer linearen Abbildung
A?
Wann ist ein von v 2 V aufgespannter Teilraum invariant?
Was ist ein Eigenwert? Ein Eigenvektor?
Wie kann man Eigenvektoren einer linearen Abbildung ausrechnen?
Warum sind Av = v fur v 6= 0 und det(A En) = 0 gleichbedeutend?
(Beweis)
Satz von Cayley-Hamilton
Was ist ein Minimalpolynom?
Gibt es zu jedem Polynom P (x) eine Matrix A mit P () = det(En A)?
Wie sind algebraische und geometrische Vielfachheiten eines Eigenwerts
deniert?
Was bedeutet es, eine lineare Abbildung A zu diagonalisieren?
Kann man jede lineare Abbildung diagonalisieren? Existiert ein hinreichendes Kriterium?
2 CHECK-LISTE LINEARE ALGEBRA
7
2.6 Skalarprodukte
Was ist eine Linearform? Eine Bilinearform? Eine Multilinearform? Wel
che Beispiele solcher Formen sind bekannt?
Denition eines Skalarproduktes?
Was ist das Gram-Schmidt-Verfahren?
Was ist eine Norm?
Ungleichung von Cauchy-Schwarz?
Wann heien Matrizen
{ symmetrisch? hermitesch?
{ orthogonal? unitar?
Wie kann man an den Spalten einer Matrix ablesen, ob diese symmetrisch,
hermitesch, orthogonal oder unitar ist?
Was kann man uber Eigenwerte solcher Matrizen aussagen?