Lineare Algebra II Frühjahrsemester 2017 Serie 3 Prof. P. Habegger

Lineare Algebra II
Serie 3
Frühjahrsemester 2017
Prof. P. Habegger
Auf diesem Blatt bezeichnet K stets einen Körper und m ∈ N.
Aufgabe S1 (1 + 3 Punkte). Sei
a b
A=
∈ Mat2 (K).
c d
(i) Zeigen Sie, dass
PA (X) = X 2 − Spur(A)X + det A.
(ii) Beweisen Sie die Identität
A2 − Spur(A)A + det(A)E2 = 0.
Aufgabe S2 (2 + 2 + 2 Punkte). Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden
Aussagen.
(i) Es gilt U ⊕ W = R2 , wobei
x
2x
U=
:x∈R
und W =
:x∈R .
0
0
(ii) Es gilt U ⊕ W = C2 , wobei
1
U=
λ:λ∈C
i
und W =
i
1
λ:λ∈C
mit i2 = −1.
(iii) Es gilt R2 = {0} ⊕ R2 .
Aufgabe S3 (6 Punkte). Sei V ein K-Vektorraum und U1 , . . . , Un Untervektorräume von V mit V = U1 ⊕ · · · ⊕ Un . Weiterhin haben wir für jedes j ∈
{1, . . . , n} eine ganze Zahl kj ≥ 0 und eine Basis (vj,1 , . . . , vj,kj ) von Uj gegeben.
Zeigen Sie, dass
(v1,1 , . . . , v1,k1 , v2,1 , . . . , v2,k2 , . . . , vn,1 , . . . , vn,kn )
eine Basis von V ist.
Aufgabe E1 (2 + 2 + 4 Punkte). Seien A, B ∈ Matm (R) und T ∈ GLm (C) mit
T AT −1 = B.
(i) Sei T = U + iV mit U, V ∈ Matm (R) und i2 = −1. Zeigen Sie, dass
U A = BU und V A = BV .
(ii) Zeigen Sie, dass es für jedes Polynom P (X) ∈ R[X] r {0} ein λ ∈ R mit
P (λ) 6= 0 gibt.
(iii) Beweisen Sie, dass es S ∈ GLm (R) mit SAS −1 = B gibt.
Aufgabe E2 (2 + 4 Punkte). Die spezielle orthogonale Gruppe ist
SO3 (R) = {A ∈ Mat3 (R) : AAt = E3 und det A = 1}.
(i) Beweisen Sie, dass SO3 (R) eine Untergruppe von GL3 (R) ist.
(ii) Zeigen Sie, det(E3 − A) = 0 für jede Matrix A ∈ SO3 (R), d.h. 1 ist ein
Eigenwert von A. [Hinweis: (E3 − A)At = (A − E3 )t .]
Aufgabe F1. Seien k und K Körper mit k ⊆ K und A, B ∈ Matm (k), so
dass T ∈ GLm (K) mit T AT −1 = B existiert. Nehmen Sie zusätzlich an, dass k
unendlich viele Elemente enthält. Zeigen Sie, dass es S ∈ GLm (k) mit SAS −1 = B
gibt.
Aufgabe F2. Stimmt die Schlussfolgerung F1 unter der Voraussetzung, dass k
ein endlicher Körper ist?
Abgabe bis zum 24. März 2017 um 12.30 Uhr ins entsprechende Fach an
der Spiegelgasse 1.
Die Aufgaben S1, S2, . . . sind Teil des Standardprogramms und E1, E2, . . . gehören
zum Ergänzungsprogramm. Die Aufgaben F1, F2, . . . sind freiwillig.