¨Ubungen zur Linearen Algebra Wintersemester 2012/13 Serie 6

Übungen zur Linearen Algebra
Serie 6
Wintersemester 2012/13
Prof. Dr. P. Habegger
Auf diesem Blatt ist K ein Körper und m eine natürliche Zahl.
Aufgabe 1 (2 + 4 Punkte). Eine Matrix A ∈ Matm (K) heißt nilpotent, falls es
n ∈ N mit An = 0 gibt.
(i) Ist eine nilpotente Matrix invertierbar? Begründen Sie ihre Antwort.
(ii) Sei A ∈ Matm (K) nilpotent. Beweisen Sie, dass Em − A invertierbar ist.
Aufgabe 2 (2 Punkte). Überprüfungen Sie durch Nachrechnen die Formel det(AB) =
det(A) det(B) für A, B ∈ Mat2 (K).
Aufgabe 3 (4 + 2 + 4 Punkte). Sei σ ∈ S4 die durch
(1)
1 2 3 4
k
σ(k) 2 3 4 1
definierte Permutation.
(i) Erstellen Sie Abbildungstabelle (wie (1)) für σ −1 und σ 2012 .
(ii) Bestimmen Sie sign(σ).
(iii) Zeigen Sie, dass es kein τ ∈ S4 mit τ 2 = σ gibt.
Aufgabe 4 (2 Punkte). Ist die Telefontastenmatrix


1 2 3
 4 5 6  ∈ Mat3 (Q)
7 8 9
invertierbar? Begründen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 5 (0 + 0 Punkte).
(i)* Seien A, B ∈ Mat2 (Z) (d.h. A und B haben
ganze Koeffizienten), so dass A, A + B, A + 2B, A + 3B und A + 4B in
GL2 (Q) liegen und ganzzahlige Inverse besitzen. Zeigen Sie, dass A + 5B
invertierbar ist und ein ganzzahliges Inverses besitzt.
(ii)* Seien A, B ∈ Matm (K) mit A + B = AB. Beweisen Sie AB = BA.
* = freiwillige Aufgabe.
Abgabe bis Donnerstag, 6. Dezember 2012, 12 Uhr