Blatt 6 - Institut für Algebra und Zahlentheorie

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Algebraische Zahlentheorie
WS 2010/11
Blatt 6
Aufgabe 1. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K,
und seien x1 , . . . , xn ∈ V und f1 , . . . , fn ∈ V ∗ gegeben. Beweisen Sie die
Äquivalenz folgender Aussagen:
P
(a) Für alle x ∈ V gilt x = ni=1 fi (x)xi .
(b) Die f1 , . . . , fn bilden eine duale Basis zu x1 , . . . , xn , d. h. fi (xj ) = δij
für alle i, j ∈ {1, . . . , n}.
∼ EndK (V ) entspricht das Ele(c) UnterP
dem Isomorphismus V ∗ ⊗K V −→
n
ment i=1 fi ⊗ xi der identischen Abbildung 1V : V → V .
Aufgabe 2. Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K. Zeige:
(a) Ist R nicht ganz abgeschlossen, etwa S ) R ein über R ganzer Teilring
von K, so ist S ∈ A(R), aber nicht invertierbar.
(b) Ist R nicht noethersch, etwa I ⊳ R ein nicht endlich erzeugtes Ideal von R, so ist I nicht invertierbar. (Hinweis: Angenommen, falsch!
Stelle 1 als Element von II −1 dar und finde aus dieser Gleichung ein
Erzeugendensystem von I.)
(c) Ist R nicht eindimensional, etwa P 6= 0 ein nicht maximales Primideal,
so ist P nicht invertierbar oder jedes Ideal I ⊳ R mit P ( I ( R nicht
invertierbar. (Hinweis: P = P I −1 · I.)
Aufgabe 3. Welche der folgenden Zahlen sind ganz über Z?
√
(a) 21 (7 + 13)
√
√
(b) 19 + 21 (7 + 13) (Hinweis: Erst überlegen, dann rechnen!)
√
(c) 21 13
Aufgabe 4. Sei R := Z[ϑ] = Z ⊕ Zϑ mit ϑ2 = −5. Für α1 , . . . , αn ∈ R
bezeichne (α1 , . . . , αn ) das von α1 , . . . , αn erzeugte Ideal in R. Zeigen Sie:
(a) Eine Primzahl p ∈ Z ist genau dann irreduzibel in R, wenn die Gleichung x2 + 5y 2 = p keine ganzzahlige Lösung (x, y) besitzt.
(b) Die Zahl 21 läßt sich auf drei (!) wesentlich verschiedene Arten in zwei
irreduzible Faktoren zerlegen.
(c) (3, 1 + 2ϑ)(3, 1 − 2ϑ) = (3) und (7, 1 + 2ϑ)(7, 1 − 2ϑ) = (7).
(d) Da R/(3) ∼
= Z/(3) ⊕ Z/(3), sind die Ideale (3, 1 + 2ϑ) und (3, 1 − 2ϑ)
maximal, ebenso (7, 1 + 2ϑ) und (7, 1 − 2ϑ).
(e) (3, 4 + ϑ) = (3, 1 − 2ϑ) und (7, 4 + ϑ) = (7, 1 + 2ϑ).