¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra I Wintersemester

Übungsaufgaben zur Vorlesung Lineare Algebra I
Wintersemester 2016/17, Prof. Dr. B. Fritzsche
Serie 12 - Abgabetermin 16.01.2017
(p)
(p)
(p)
12-A Sei p ∈ N. Es bezeichne e1 , e2 . . . . , ep die natürliche Basis von Cp . Für alle j ∈ Z1,p und alle k ∈ Z1,p
bezeichne weiterhin
1 (p)
1 (p)
1 (p)
1 (p)
(p)
(p)
(p)
(p)
ajk := (ej + ek ), bjk := (ej − ek ), cjk := (ej − iek ), djk := (ej + iek ).
2
2
2
2
(p)
(p)
Weisen Sie nach, dass für alle G = (gjk ) j=1,...,p ∈ Cp×p dann gjk = (ej )∗ Gek und
k=1,...,p
gjk = a∗jk Gajk − b∗jk Gbjk + ic∗jk Gcjk − id∗jk Gdjk
für alle j, k ∈ Z1,p erfüllt ist.
12-B Seien p, q ∈ N sowie r ∈ N0 mit r ≤ min {p, q}. Es bezeichne

Ir
, falls
r=p=q









Ir


, falls
r=q<p


O(p−r)×r








(Ir , Or×(q−r) )
, falls
r=p<q
Er :=
.







Ir
Or×(q−r)




 , falls 0 < r < min {p, q}





O(p−r)×r O(p−r)×(q−r)







Op×q
, falls
r=0
Weisen Sie nach, dass sowohl der Zeilenrang von Er als auch der Spaltenrang von Er gleich r ist.
12-C Seien K ein Körper und A ∈ K p×q . Es bezeichne s(A) den Spaltenrang von A und z(A) den Zeilenrang
von A. Weisen Sie die Gültigkeit folgender Aussage nach: Ist B eine beliebige Untermatrix von A, so gilt
s(B) ≤ s(A) und z(B) ≤ z(A). Begründen Sie insbesondere, dass s(A) ≥ r und z(A) ≥ r gilt, falls die
r-reihige Einheitsmatrix Ir eine Untermatrix von A ist.
12-D Sei Kein Körper.
Seien A ∈ K p×p eine invertierbare Matrix sowie B ∈ K p×q , C ∈ K q×p , D ∈ K q×q und
AB
E :=
. Dann heißt A[E] := D − CA−1 B das Schur-Komplement von A bezüglich E.
CD
(a) Zeigen Sie, dass der Rang r(E) von E die Gleichung r(E) = r(A) + r(A[E] ) erfüllt sowie
Ip
Op×q
A
Op×q
Ip
A−1 B
E=
CA−1
Iq
Oq×p A[E]
Oq×p
Iq
gilt.
(b) Beweisen Sie, dass E genau dann invertierbar ist, wenn A[E] invertierbar ist.
(c) Sei E invertierbar. Begründen Sie, dass E−1 die Blockdarstellung
−1
A + A−1 B(A[E] )−1 CA−1
−A−1 B(A[E] )−1
−1
E =
−(A[E] )−1 CA−1
(A[E] )−1
gestattet.

δ1j Im
δ2j Im 


:=  .  ,
 .. 
δpj Im

12-Z Sei K ein Körper. Seien p, q, m, n ∈ N sowie
[p,m]
Ej
j ∈ Z1,p .
Für alle j ∈ Z1,p und alle α ∈ K bezeichne
[p,m]
Sj
[p,m]
(α) := Ipm + (α − 1)Ej
[p,m] T
(Ej
) ,
und, falls k ∈ Z1,p \ {j} ist, weiterhin
[p,m]
Qjk
Ist ϕ =
1
2
...
ϕ(1) ϕ(2) . . .
[p,m]
(α) := Ipm + αEj
[p,m] T
(Ek
) .
p
eine Permutation der Zahlen 1, 2, . . . , p, so sei weiterhin
ϕ(p)
P[p,m]
:=
ϕ
p
X
[p,m]
Ej
[p,m]
(Eϕ(j) )T .
j=1

Z1
Z2 
 
(a) Bezeichnet A =  .  die m×q-Blockdarstellung einer Matrix A ∈ K mp×q , so ist für alle α ∈ K, alle
 .. 
Zp

[p,m]
j ∈ Z1,p und alle k ∈ Z1,p \ {j} die m × q-Blockdarstellung der Matrizen Sj
[p,m]
(α)A und Qjk
sowie für alle Permutationen ϕ der Zahlen 1, 2, . . . , p die m × q-Blockdarstellung der Matrix
anzugeben.
(α)A
[p,m]
Pϕ A
(b) Bezeichnet B = (S1 , S2 , . . . , Sq ) die p × n-Blockdarstellung einer Matrix B ∈ K p×nq , so ist für alle
[q,n]
[q,n]
α ∈ K, alle j ∈ Z1,q , alle k ∈ Z1,q \{j} die p×n-Blockdarstellung der Matrizen BSj (α), BQjk (α)
sowie für alle Permutationen ϕ der Zahlen 1, 2, . . . , q auch die p × n-Blockdarstellung der Matrix
[p,n]
BPϕ anzugeben.
[p,m]
(c) Weisen Sie nach, dass für alle Permutationen ϕ der Zahlen 1, 2, . . . , p die Matrix Pϕ
[p,m]
[p,m]
[p,m]
[p,m]
ist sowie (Pϕ )−1 = (Pϕ )T und (Pϕ )T = (Pϕ )∗ gelten.
invertierbar
[p,n]
(d) Weisen Sie nach, dass für alle j, k ∈ Z1,p mit j 6= k und alle α ∈ K die Matrix Qjk (α) invertierbar
[p,n]
ist und bestimmen Sie (Qjk (α))−1 .
[p,n]
(e) Weisen Sie nach, dass für alle j ∈ Z1,p und alle α ∈ K \ {0} die Matrix Sj
[p,n]
bestimmen Sie (Sj
(α))−1 .
(α) invertierbar ist und