Serie 4 - D-MATH

D-INFK
Roman Glebov
Marc Pollefeys
Lineare Algebra
HS 2014
Serie 4
1. Seien n ∈ N, I die n × n-Einheitsmatrix und E die n × n-Einsmatrix, d.h. E ij = 1 für alle
1 ≤ i, j ≤ n.
a) Bestimmen Sie E 2 .
b) Für reele Zahlen a, b, c, d setzen Sie A = aI + bE und C = cI + dE. Bestimmen Sie
reelle u, v, so dass AC = uI + vE.
c) Sei A = aI + bE wie in b). Bestimmen Sie x und y, so dass A−1 = xI + yE. Welche
Bedingungen müssen a und b erfüllen?
2. Matrix Interpretation der LU-Zerlegung
Für 1 ≤ k ≤ n−1 im Schritt
h kider Gauß-Elimination (Algorithmus 1.1 im Skript) erhalten Sie
(k)
eine n × n-Matrix Ak = ai,j
, die in den Spalten 1, . . . , k eine obere Dreiecksmatrix
1≤i,j≤n
ist. Inbesondere, für k = n − 1 erhalten Sie eine obere Dreiecksmatrix U = An−1 .
Sei
Index
1
..
.
k−1
τk =
k
k+1
..
.
n
Index

0
..
.



 0

 0

 lk+1,k


..

.
ln,k












..
.
n
0
..
.
k−1
und
ek =


0
 .. 
 . 
 
 0 
 
 1 .
 
 0 
 
 .. 
 . 
1
k
k+1
−1
Betrachten Sie die n × n-Matrizen M k = I − τ k e>
k und Lk = M k . Zeigen Sie:
a) M k Ak−1 = Ak für 1 ≤ k ≤ n − 1,
b) Lk = I + τ k e>
k für 1 ≤ k ≤ n − 1,
c) L = L1 · . . . · Ln−1 ist eine untere Dreiecksmatrix,
d) A = LU .
Bitte wenden!
3. Sei A die Matrix

2
4 −1
5
−4 −5
3 −8
.
A=
 2 −5 −3
1
−6
0
7 −3

a) Bestimmen Sie die LU-Zerlegung A = LU der Matrix A.
b) Lösen Sie mit Hilfe der LU-Zerlegung von A das Gleichungssystem Ax = b, wobei
 
−7
 9

b=
 9 .
2
4. Sei V := {x ∈ R3 : n> x = 0}, wobei n := (1, −2, 1)> .
a) Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum (über R) ist.
b) Finden Sie Vektoren y, z ∈ R3 , so dass die Menge {y, z} ein Erzeugendensystem für V
ist.
c) Skizzieren Sie V (auf Papier).
5. M ATLAB-Aufgabe
LU-Zerlegung
a) In der Übungsstunde haben Sie eine M ATLAB-Funktion
function [L,U] = lu(A)
zur Berechnung der LU-Zerlegung A = LU für n × n-Matrizen A kennengelernt. Implementieren Sie diese Funktion.
b) Testen Sie Ihre Implementierung mit der Matrix


3 −7 −2
2
−3
5
1
0

A=
 6 −4
0 −5
−9
5 −5 12
und geben Sie die Matrizen L und U aus.
6. Lösen Sie die Online-Multiple-Choice-Aufgaben.
Siehe nächstes Blatt!
1. Seien A, B, C reelle n × n-Matrizen. Welche Aussagen sind richtig?
(a)
Wenn AB = C und C invertierbar ist, dann sind auch A und B invertierbar.
(b)
Wenn A Rang 1 hat, dann hat auch AB Rang 1.
(c)
Es gibt nur eine n × n-Matrix mit Rang 0.
(d)
Wenn es ein k ∈ N gibt, so dass Ak = 0, dann ist A nicht invertierbar.
2. Welche der folgenden Teilmengen sind lineare Unterräume?
(a)
p ∈ P 1 : p(−1) = p(1)
(b)
p ∈ P 1 : p(1) = 1 ⊆ P 1
(c)
x ∈ R2 : x21 + x22 = 1 ⊆ R2
(d)
x ∈ R2 : x1 + x2 = 5 ⊆ R2
(e)
x ∈ R2 : 2x1 = 4x2 ⊆ R2
(f)
x ∈ R3 : 2x1 = 4x2 ⊆ R3
⊆ P1
Bitte wenden!
3. Welche der folgenden Matrizen besitzen eine Cholesky-Zerlegung?

(a)
(b)
(c)
(d)

1 2 3
A =  2 3 4 .
1 4 1


0 0
0
6 0
0 
.
0 −2 0 
0 0 100

0
6
0
0

0 0
0 0 
.
2 0 
0 100

0
6
0
0

0 0
0 0 
.
0 0 
0 100
1
 0
B=
 0
0
1
 0
C=
 0
0
1
 0
D=
 0
0
Für M ATLAB-Aufgaben: Bitte stellen Sie sicher, dass Ihre Programme ausführbar sind und korrekt
laufen. Reichen Sie Ihre Lösungen unter http://www.math.ethz.ch/~grsam/submit/
?VL=05 ein und geben Sie zusätzlich einen Ausdruck des generierten .pdf zusammen mit den
Lösungen der anderen Aufgaben ab.
Bitte geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag, den 16.10.14, 12:00 h ab.
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/
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