Übungsblatt 1 / Assignments 1

Fachhochschule Münster
Fachbereich Maschinenbau
Prof. Dr. L. Göllmann
Münster University of Applied Sciences
Dept. of Mech. Engineering
H ÖHERE M ATHEMATIK - WS 2016/2017
1. Ü BUNGSBLATT
Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie die (affinen) Lösungsräume folgender linearer Gleichungssysteme




 
4 3 3 10 9 7 0
2 1 2 5 4
5
2 3 2 5 7 4 0

 ~x = ~0, 1 3 6 10 2 ~x = 0 .
2 2 3 9 8 5 0
1 2 4 7 2
1
1 1 1 3 3 2 0
b) Bestimmen Sie den Kern, das Bild und den Rang folgender Matrizen





2 0 1 5 −5
1 1 0 1 −1
1 −1
1 2 1 8 −8
2 2 1 2 −1
 −1
1




A=
1 1 2 9 −9 , B = 3 3 0 4 −1 , C =  1
0
1 1 1 6 −6
6 6 1 7 −3
−1
0

1 −1
0
0 

0
1 
1
1
Aufgabe 2
a) Bestimmen Sie für die Matrix


4 2 0 1
5 3 0 1 

A=
2 −2 1 −2
3 2 0 1
eine Zeilenumformungsmatrix Z ∈ GL(4, R) mit ZA = obere Dreiecksmatrix.
b) Bestimmen Sie für die Matrix


3 3 3 4
0 1 0 0

B=
0 0 1 0
2 1 2 3
eine Spaltenumformungsmatrix S ∈ GL(4, R) mit BS = untere Dreiecksmatrix.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie für die Matrizen




1 2 1 1
2 2 2 1
2 1 2 1
2 2 3 2




1 1 2 1
1 3 4 4 ,
1 1 1 1
1 2 2 2
jeweils eine Permutation P, eine linke Dreiecksmatrix L mit Einsen auf der Hauptdiagonalen
und eine obere Dreiecksmatrix U mit PA = LU.
1
Aufgabe 4
Invertieren Sie die folgenden regulären Matrizen




1 0 1
1 0 i
A = 0 1 0 , B = 0 i 0 .
1 0 2
i 0 1
Hierbei ist i die imaginäre Einheit.
Aufgabe 5
Beweisen Sie folgenden Aussagen:
1. Für jede reguläre Matrix A sind Transposition und Inversion vertauschbar, d. h. es gilt
( A −1 ) T = ( A T ) −1 .
2. Für zwei gleichformatige symmetrische Matrizen A und B gilt AB = ( BA) T .
3. Das Produkt symmetrischer Matrizen muss nicht symmetrisch sein (Konstruieren Sie
ein Gegenbeispiel).
4. Das Produkt zweier oberer (bzw. unterer) Dreiecksmatrizen ist wieder eine obere (bzw.
untere) Dreiecksmatrix.
5. Für eine n × n-Matrix A gilt det A = det(S−1 AS) mit jeder regulären n × n-Matrix S.
6. Die Determinante einer Transpositionsmatrix ist −1.
7. Für die Determinante einer quadratischen Matrix aus ganzen Zahlen gilt det A ∈ Z.
8. Die Inverse einer regulären Matrix A aus ganzen Zahlen mit det A = 1 besteht ebenfalls nur aus ganzen Zahlen.
9. Für eine orthogonale Matrix A (d. h. A T = A−1 ) gilt det A = ±1.
10. Für eine beliebige reelle m × n-Matrix A ist die n × n Matrix B = A T A symmetrisch
und positiv semidefinit.
11. Für jede quadratische Matrix A und jede natürliche Zahl k gilt: Kern Ak ⊂ Kern Ak+1
(hierbei ist A0 := E).
12. Es sei A eine quadratische Matrix. Falls für ein ν ∈ N gilt Kern Aν = Kern Aν+1 so
muss auch Kern Aν+1 = Kern Aν+2 gelten.
13. Für jede quadratische Matrix A gilt: ~v ∈ Kern Ak ⇐⇒ A~v ∈ Kern Ak−1 für alle
k ∈ N \ {0}. Verifizieren Sie diesen Sachverhalt für k = 2 an einem Beispiel.
~ eine Lösung
14. Es sei eine A eine quadratische Matrix und ~v ∈ Kern A. Dann gilt: Ist w
2
~ ∈ Kern A . Finden Sie ein Beispiel hierzu.
des LGS A~x = ~v, so folgt: w
15. Für eine quadratische Matrix in Normalform Nr,∗ (vgl. Kap. 4) ist der Schnitt aus Kern
und Bild trivial, besteht also nur aus dem Nullvektor. Eine derartige Matrix kann also
nicht als Beispiel für die vorausgegangene Aussage dienen.
16. Der Schnitt zweier Teilräume eines Vektorraums V ist ein ebenfalls ein Teilraum von
V.
2