Lineare Algebra und analytische Geometrie I, HU Berlin, WS2011/12

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Dr. M. Staudacher
Lineare Algebra und analytische Geometrie I? WS 2011/12
Übungsblatt 11, Abgabe spätestens bis in der VL am Do. 26.01. um 13.15 Uhr
1
[Matrizengleichungen] Es seien die reellen Matrizen
A=
1
−1
−1
2
1
0
,
B=
1
−2
2
1

,
2
C= 1
−1
−3
0
3

1
2 
1
gegeben. Finden Sie die Lösungsmengen der Matrizengleichungen A · X = B und Y · A = C.
(4 Punkte)
2
[Basen, Matrizendarstellungen]
a) Sei C die Matrix

3
C =  −1
1
1 −1
2 2
5 3
und sei F : R4 → R3 definiert durch F (x) = C · x.
B von R3 mit

1
MBA (F ) =  0
0

0
1 
2
Finden Sie eine Basis A von R4 und eine Basis

0 0 0
1 0 0 .
0 0 0
b) Sei n eine natürliche Zahl und V := {f ∈ R[t] : deg f ≤ n} der Vektorraum der reellen Polynome
vom Grad kleiner oder gleich n. Sei die Abbildung θ definiert durch
θ : V −→ V,
f 7→ f 0 ,
wobei wir mit f 0 dasjenige Polynom bezeichnen, das durch Ableitung von f nach t entsteht. Dazu
sei noch a ∈ R eine beliebige Konstante und die Abbildung η gegeben durch:
η : V −→ V,
η(f )(t) := f (t + a).
Hier ist t+a für a ∈ R als Polynom in R[t] zu verstehen. Zeigen Sie, dass θ und η lineare Abbildungen
sind und bestimmen Sie jeweils deren Matrixdarstellungen bezüglich der Basis B = (1, t, . . . , tn )
von V .
(5 Punkte)
3
[Koordinatensysteme]
a) Sei K ein Körper und (k1 , · · · , kn ) eine Basis von Kn . Sei zudem V ein beliebiger K -Vektorraum
mit der Basis BV = (v1 , · · · , vn ) und sei ΦBV : Kn → V der Isomorphismus definiert durch
ΦBV (ei ) = vi für i = 1, . . . , n,
wobei (e1 , . . . , en ) die kanonische Basis von Kn ist. Wir sagen, dass ΦBV das von BV erzeugte
Koordinatensystem ist. Zeigen Sie, dass (ΦBV (k1 ), · · · , ΦBV (kn )) eine Basis von V ist.
b) Sei m ∈ N, m > 3 fest, und sei W der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner m in der
Variablen t. Für W nehmen wir die Basis BW = (w1 , . . . , wm ) mit

j=2
 t − 2,
tm−1 − t2 , j = m .
wj =
 j−1
t ,
sonst
∗
Sei ΦBW : Rm → W das von BW erzeugte Koordinatensystem. Bestimmen Sie eine Basis BW
=
∗
∗
(w1 , · · · , wm ) von W mit den Eigenschaften
 


 
1
m−1
1
1
 .. 
2
 


 
 
w1∗ = ΦBW 0 , w2∗ = ΦBW  .  , w3∗ = ΦBW  .  .
 .. 
 1 
 .. 
.
0
m
0
(5 Punkte)
4
[Matrizenmultiplikation, untere Dreiecksmatrizen] Eine Matrix A = (aij ) ∈ M (n, m), n, m ∈ N heißt
untere Dreiecksmatrix, falls aij = 0 ∀i < j, und echte untere Dreiecksmatrix, falls aij = 0 ∀i ≤ j.
a) Zeigen Sie unter ausschließlicher Verwendung der Definition der Matrizenmultiplikation, dass das
Produkt zweier unterer Dreiecksmatrizen wieder eine untere Dreiecksmatrix ist.
b) Sei A ∈ M (n, m) eine echte untere Dreiecksmatrix. Bestimmen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Wohldefiniertheit von Ak für alle k ∈ N.
c) Sei A ∈ M (n, m) eine beliebige echte untere Dreiecksmatrix, die der Bedingung in b) genügt.
Zeigen Sie, dass die Menge {Ak : k ∈ N} eine endliche Menge ist.
(6 Punkte)