TRIGONALISIERUNG UND SPEKTRALSATZ 1. Die

TRIGONALISIERUNG UND SPEKTRALSATZ
CAROLINE LASSER
1. Die Trigonalisierung
Satz 1 (Schur-Zerlegung). Sei K ein Körper und n ≥ 1. Dann sind für jede Matrix
A ∈ K n×n äquivalent:
(1) Das charakteristische Polynom von A zerfällt in Linearfaktoren.
(2) Es gibt S ∈ GL(n, K), so dass SAS −1 eine obere Dreiecksmatrix ist.
Eine Zerlegung
A = S −1 RS,
wobei R ∈ K n×n eine obere Dreiecksmatrix und S ∈ GL(n, K) sind, heißt eine
Schur-Zerlegung von A. Auf der Diagonalen der oberen Dreiecksmatrix R stehen
die Eigenwerte von A.
Beweis. Wir zeigen (2) ⇒ (1). Seien R = SAS −1 die obere Dreiecksmatrix und
λ1 , . . . , λn ∈ K ihre Diagonaleinträge. Dann gilt
pA (x) = det(A − xEn ) = det(R − xEn ) = (λ1 − x) · · · (λn − x),
so dass pA in Linearfaktoren zerfällt.
Für (1) ⇒ (2) führen wir einen Induktionsbeweis über n. Für n = 1 ist nichts zu
zeigen. Sei n ≥ 2. Wir wählen ein Eigenpaar (λ1 , v1 ) von A und ergänzen zu einer
Basis (v1 , . . . , vn ) des K n . Dann gilt für T −1 = (v1 , . . . , vn ) dass
λ 1 bt
−1
T AT =
mit b ∈ K n−1 , B ∈ K (n−1)×(n−1) .
0 B
Wegen
pA (x) = det(A − xEn ) = det(T AT −1 − xEn ) = (λ1 − x) det(B − xEn−1 )
= (λ1 − x)pB (x),
zerfällt auch pB in Linearfaktoren. Nach Induktionsannahme gibt es eine invertierbare Matrix S∗ ∈ GL(n − 1, K), so dass S∗ BS∗−1 eine obere Dreiecksmatrix ist.
Setzen wir
1 0
S=
T,
0 S∗
so gilt wie gewünscht
1 0
λ 1 bt
1
0
λ1
bt S∗−1
−1
SAS =
=
.
0 S∗
0 B
0 S∗−1
0 S∗ BS∗−1
Korollar 1 (Unitäre Schur-Zerlegung). Für A ∈ Cn×n gibt es eine unitäre Matrix
U ∈ U (n), so dass U AU ∗ eine obere Dreiecksmatrix ist.
Date: 17. Juni 2016.
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CAROLINE LASSER
Beweis. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes Polynom über C,
und damit auch pA . Nach obigem Satz gibt es also S ∈ GL(n, C), so dass SAS −1
eine obere Dreiecksmatrix ist. Sei S −1 = U −1 R eine QR-Zerlegung mit U ∈ U (n)
und R eine obere Dreiecksmatrix. Dann ist
U AU ∗ = U AU −1 = R(SAS −1 )R−1
als Produkt oberer Dreiecksmatrizen eine obere Dreiecksmatrix.
2. Der Spektralsatz
Satz 2 (Spektralsatz für komplexe Matrizen). Für A ∈ Cn×n sind äquivalent:
(1) A = A∗
(2) σ(A) ⊆ R und es gibt S ∈ U (n), so dass SAS ∗ diagonal ist.
Beweis. Wir zeigen zuerst (1) ⇒ (2). Sei also λ ∈ σ(A) und v ein zugehöriger
Eigenvektor. Dann gilt
λhv, vi = hv, λvi = hv, Avi = hA∗ v, vi = hAv, vi = hλv, vi = λ̄hv, vi,
so dass wegen v 6= 0 auch λ = λ̄ folgt. Also gilt λ ∈ R und damit σ(A) ⊆ R.
Betrachten wir noch eine Schur-Zerlegung von A,
A = S ∗ RS,
wobei S ∈ U (n) und R eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann gilt A∗ = S ∗ R∗ S, so
dass wegen A = A∗ auch R = R∗ gilt, und R eine Diagonalmatrix ist.
Wir zeigen nun (2) ⇒ (1). Sei also A = S ∗ DS, wobei S ∈ U (n) und D die
Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge die Eigenwerte von A sind. Wegen
σ(A) ⊆ R gilt D = D∗ und damit auch
A∗ = S ∗ D∗ S = S ∗ DS ∗ = A.