¨Ubungen – Blatt 2∗

Prof. Dr. Annette Werner
Dr. Amir Džambić
Lineare Algebra
Sommersemester 2015
Übungen – Blatt 2∗
Aufgabe 1 Für eine n × n-Matrix A = (aij ) definieren wir die Spur von A als
Spur(A) = a11 + a22 + . . . + ann , also als die Summe der Diagonaleinträge. Zeigen Sie:
a) Für beliebige n × n-Matrizen A, B gilt Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B)
b) Für beliebige n × n-Matrizen ist Spur(AB) = Spur(BA)
c) Ist B eine invertierbare Matrix, dann ist Spur(A) = Spur(BAB −1 )
d) Es gibt keine reellen n × n-Matrizen A, B, so dass gilt AB − BA = En .
(4 P.)
Aufgabe 2
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b mit




1 7 2
3
1
1
 0 1 2 −1 −2 


, b =  2 
A=
 1 5 −2 5
 −3 
5 
0 3 2 −3 −6
−9
b) Kann man die Matrix

2
1
 0
2
A=
 1
1
−1 −5
0
2
0
2

3
0 

1 
2
als Produkt von Elementarmatrizen schreiben? Begründen Sie Ihre Antwort.
(4 P.)
Aufgabe 3.
a) Sei A eine n × n-Matrix mit einer Nullspalte. Zeigen Sie, dass A nicht
invertierbar ist.
b) Sei A eine m × n-Matrix und B eine n × m-Matrix. Zeigen Sie: Wenn n < m
ist, dann ist die m × m-Matrix AB nicht invertierbar.
Hinweis: Schreiben Sie A als Produkt XY einer geeigneten m × m-Matrix X und
einer passenden m × n-Matrix Y und benutzen Sie Teil a).
(5 P.)
∗
Abgabefrist für die Lösungen endet am 04. 05. 2015 um 12.30 Uhr. Im Flur der RobertMayer-Str. 6, 3. Stock befindet sich ein Fächerschrank, in den die Lösungen abgegeben werden
sollen.
Aufgabe 4. Sei A = (aij ) eine n × n-Matrix mit aii = 1 für alle i = 1, . . . , n und
aij = 0 für i < j, d.h. A hat die Gestalt

1
∗


A = ∗
.
 ..
∗
0
1
..
.
∗
.. . . . .
.
.
.
∗ ...
∗







1
Zeigen Sie, dass A ein Produkt von Elementarmatrizen vom Typ I ist.
(4 P.)