LINEARE ALGEBRA II ¨UBUNGSBLATT NR. 4 Aufgaben für die

Jun.Prof. Dr.habil. C. Diem
[email protected]
http://www.math.uni-leipzig.de/∼diem/la
LINEARE ALGEBRA II
ÜBUNGSBLATT NR. 4
Sei wie immer K ein fest gewählter Körper.
Aufgaben für die Übungsgruppen
Definition Die Charakteristik von K (Bezeichnung: char(K)) ist wie folgt definiert:
Wenn es eine natürliche Zahl n mit n · 1K = 0K gibt, ist die Charakteristik von K
gleich der kleinsten solchen natürlichen Zahl. Wenn es keine solche Zahl gibt, ist die
Charakteristik von K gleich 0.
Aufgabe Ü1 Zeigen Sie, dass die Charakteristik von K entweder 0 oder eine Primzahl
ist!
Aufgabe Ü2 Sei L ein Körper und K ein Teilkörper von L. Sei nun A ∈ K n×n . Dann
kann man A auch als eine Matrix über L auffassen. Überlegen Sie sich: A ist als Element
von K n×n genau dann invertierbar, wenn es als Element von Ln×n invertierbar ist.
Aufgabe Ü3 Sei A eine quadratische Matrix über einem Körper. Wir fragen uns,
wann A invertierbar ist. Wie kann man das an den Eigenwerten von A ablesen?
Aufgabe Ü4 Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der
folgenden Matrizen, genannt A, wobei A jeweils in Q3×3 , R3×3 und C3×3 sei! Welche der
Matrizen sind diagonalisierbar? Geben Sie in diesem Fall eine invertierbare Matrix S
an, so dass die Matrix S −1 AS eine Diagonalmatrix ist!

2 1 0
 0 2 1 
0 0 2

,

5
4 0
 −2
0 1 
−2 −2 1

,

−3 1
2

2 1 −1 
−10 2
6

,

1 2 −2
 −1 1 −4 
−2 2
1

Schriftliche Hausaufgaben
Abgabe. Bis Freitag, 7.5., 13:00, im Briefkasten “Lineare Algebra” im 1. Stock des
Mathematikgebäudes (Johannisgasse 26) oder zu Beginn der Vorlesung Analytische Geometrie.
Aufgabe H1
a) Sei für σ ∈ Sn wie im Skript Mσ := (eσ(1) | · · · |eσ(n) ). Wie kann man dann A · Mσ für
eine Matrix A ∈ K n×n explizit beschreiben?
b) Folgern Sie aus Ihrer Antwort auf die obige Frage: Die Abbildung Sn −→ (K n×n )∗ ,
σ 7→ Mσ ist ein Gruppenhomomorphismus.
c) Zeigen Sie: Für alle σ, τ ∈ Sn ist
Y σ(i) − σ(j)
i<j
i−j
=
Y σ(τ (i)) − σ(τ (j))
τ (i) − τ (j)
i<j
d) Zeigen Sie, dass die Abbildung Sn −→ {±1} , σ 7→
homomorphismus von Sn nach ({±1}, ·) ist!
Q
i<j
.
σ(i)−σ(j)
i−j
ein Gruppen-
e) Zeigen Sie, dass die im Skript definierte Abbildung sign : Sn −→ {±1} ,
σ 7→ Det(Mσ ) mit der Abbildung in d) übereinstimmt!
Definition Sei V ein K-Vektorraum beliebiger Dimension und f : V n −→ K eine
Abbildung. Dann nennt man f eine Multilinearform, falls für alle festen i = 1, . . . , n
und alle festen v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ∈ V die Abbildung
V −→ K , v 7→ f (v1 , . . . , vi−1 , v, vi+1 , . . . , vn )
linear ist.
Eine Multilinearform f : V n −→ K heißt alternierend, falls f (v1 , . . . , vn ) = 0 ist, wenn
zwei der Vektoren übereinstimmen (d.h. falls es i 6= j mit vi = vj gibt).
Eine Multilinearform f : V n −→ K heißt symmetrisch, falls für alle Transposition τ auf
n Elementen und alle v1 , . . . , vn ∈ V gilt: f (v1 , . . . , vn ) = f (vτ (1) , . . . , vτ (n) ). Sie heißt
antisymmetrisch, falls für alle Transpositionen τ auf n Elementen und alle v1 , . . . , vn ∈ V
gilt: f (v1 , . . . , vn ) = −f (vτ (1) , . . . , vτ (n) ).
Aufgabe H2
Sei V ein K-Vektorraum und f : V −→ K eine Abbildung.
a) Die Axiome Det1 und Det2 kann man sofort auf Abbildungen V n −→ K übertragen.
Wir nennen diese Axiome nun A1 und A2. Welche Bedingungen muss f also erfüllen,
damit A1 und A2 gelten?
b) Zeigen Sie: f erfüllt genau dann Axiome A1 und A2, wenn f eine alternierende
Multilinearform ist.
c) Sei nun f eine Multilinearform. Zeigen Sie: f ist genau dann symmetrisch, wenn
für alle σ ∈ Sn und alle v1 , . . . , vn ∈ V gilt: f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = f (v1 , . . . , vn ). Sie
ist genau dann antisymmetrisch, falls für alle σ ∈ Sn und alle v1 , . . . , vn ∈ V gilt:
f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = sign(σ) · f (v1 , . . . , vn ).
d) Es sei char(K) 6= 2. Ferner sei f eine Multilinearform. Zeigen Sie: Die Multilinearform
f ist genau dann alternierend, wenn sie schiefsymmetrisch ist.
Aufgabe H3 Lösen Sie Aufgabe Ü4 für die folgenden Matrizen! Berechnen Sie hierbei
zunächst das charakteristische Polynom!

−1 −1
0
 −1 −1 −1 
2
0
1

,

0 −1 −1
 −2
1 −1 
6
3
5

,

7 −1 −2
 2
4 −4 
1 −1
4

,

−1 0 1
 0 1 1 
−1 0 0
