6. Aufgabenblatt zur Linearen Algebra und Geometrie I
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Fakultät für Mathematik
Ruhr-Universität Bochum
Gerhard Röhrle, Ralf Holtkamp
Wintersemester 2007/2008
6. Aufgabenblatt zur
Linearen Algebra und Geometrie I
Abgabe bis 29. November 2007, 14 Uhr
1. Aufgabe (5 Punkte):
Bestimmen Sie alle λ ∈ R, für die die Matrix
1 λ 0
λ 1 0
Aλ =
0 λ 1
0 0 λ
0
0
0
1
regulär ist, und berechnen Sie für diese λ die inverse Matrix A−1
λ .
2. Aufgabe (5 Punkte):
Sei K ein Körper.
Bestimmen Sie die Menge Z = { A ∈ M (n, K) | AB = BA für alle B ∈ M (n, K) }.
Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem A ∈ Z die Produkte AB und BA für spezielle
Matrizen B, die außer einer Eins nur Nullen enthalten.
3. Aufgabe (5 Punkte):
Welche der folgenden Mengen sind R-Untervektorräume der angegebenen R-Vektorräume?
(a) {(x, y) ∈ R2 | x · y ≥ 0 } ⊂ R2
(b) {(x, y) ∈ R2 | x, y ∈ Q } ⊂ R2
(c) {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 1 } ⊂ R3
(d) {(x, y, z) ∈ R3 | 2x = 3y = 5z } ⊂ R3
(e) {f : R → R | f (x) = f (−x) für alle x ∈ R } ⊂ Abb(R, R)
4. Aufgabe (5 Punkte):
Zeigen Sie: Seien U1 , . . . , Un Untervektorräume eines K-Vektorraums V . Dann ist auch
U := U1 + . . . + Un := {u1 + . . . + un | uj ∈ Uj für alle j = 1, . . . , n}
ein Untervektorraum von V .
Beweisen Sie, dass folgende drei Bedingungen äquivalent sind:
(a) Ist u1 + . . . + un = 0 in U , so folgt uj = 0 für jedes j ∈ {1, . . . , n}.
(b) Für jedes u ∈ U ist die Darstellung u = u1 + . . . + un mit uj ∈ Uj eindeutig.
(c) Es ist Ui ∩ (Ui+1 + . . . + Un ) = {0} für jedes i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Zeigen Sie dann anhand eines Gegenbeispiels, dass die obigen Bedingungen für n > 2
im allgemeinen nicht äquivalent sind zu U1 ∩ . . . ∩ Un = {0}.
Bitte wenden
5. Aufgabe (Präsenz):
Sind die folgenden Matrizen mit Komponenten im Körper R invertierbar? Wenn ja,
dann geben Sie die inverse Matrix an.
0
0
A=
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
,
0
0
6
1
B=
2
3
3
2
4
3
4
2
3
4
5
1
2
2
1 2 0
und C = 1 1 1 .
2 0 1
Ist die Matrix C in Z3 invertierbar? Bestimmen Sie gegebenenfalls auch hier die inverse
Matrix.
6. Aufgabe (Präsenz):
Es seien V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass das cartesische Produkt
V × W durch die Verknüpfungen
(v, w) + (v 0 , w 0 ) := (v + v 0 , w + w 0 ),
λ · (v, w) := (λv, λw)
ebenfalls zu einem K-Vektorraum wird.
7. Aufgabe (Präsenz):
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Man zeige:
(a) Wenn für λ ∈ K und v ∈ V die Gleichung λv = 0 gilt, dann ist λ = 0 oder v = 0.
(b) Wenn für zwei Untervektorraume U1 , U2 von V auch deren Vereinigung U1 ∪ U2 ein
Untervektorraum ist, dann gilt U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 .
8. Aufgabe (Präsenz):
Man stelle den Vektor w ∈ R3 jeweils als Linearkombination der Vektoren v1 , v2 , v3
dar:
(a) w = (3, 2, 1), v1 = (1, 0, 1), v2 = (7, 3, 1), v3 = (4, 3, −1)
(b) w = (−8, 17, −14), v1 = (2, 1, 0), v2 = (3, 0, 5), v3 = (−1, 4, −1)
