HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Mathematik I Prof. Dr. M

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Mathematik I
Lineare Algebra
Mathematik für Bauingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 8:
Inverse Matrizen, Matrizengleichungen
Vorbereitungsaufgaben:
1 3
1. Ist die Matrix A =
∈ R(2,2) invertierbar? Falls ja, gebe man A−1 an.
2 4
Geben Sie ferner (AT )−1 , ( 41 A)−1 und (A · A)−1 an, falls diese Matrizen existieren.
2. Gegeben sind A =
−1
(a) A~x =
−5
1 2
−1 4
und ~x =
1
2
+t
0
3
. Für welche t ∈ R gilt:
(b) ~x T A = (−4, 22) ?
Übungsaufgaben:


1 1 −1
3. Für welche α ∈ R ist die Matrix A =  2 3 −1  ∈ R(3,3) invertierbar?
1 2 α
Setzen Sie α = 1, berechnen Sie die Inverse und machen Sie die Probe.
4. Berechnen Sie jeweils die Inverse von A und bestimmen Sie damit die Menge U .





3
1
1
1


3
3  ∈ R(3,3)
(a) U = ~x ∈ R3 | A~x =  5  mit A =  2


23
−1 −2 −1
2
−
i
i
1
(b) U = ~x ∈ C2 | A~x =
mit A =
∈ C(2,2)
5
1 i
5. Gegeben sei die Matrix A aus Aufgabe 1. Lösen Sie die folgenden Matrizengleichungen durch Umstellen der Gleichung nach X bzw. ~x.
1
0
−4
(a) XA =
(b) A~x =
(c) A~x = ~0
2 −1
6
2 4 2
(d) AX =
(e) XA + 2A = E (E ∈ R(2,2) )
6 8 2
6. Für welche Matrizenpaare X, Y ∈ R(2,3) gilt
1 0 1
2 5 2
X + 2Y =
und 2X − Y =
?
5 1 4
0 2 3
7. Bestimmen Sie die Lösungsmenge U = {X | AX = B} für die linearen Matrizengleichungen AX = B über dem Körper K = R.
 




x1
1 −2 1 3
0


x2 
4
~  2  ∈ R3
(a) A =  2 −4 1 4  ∈ R(3,4) , X = ~x = 
 x3  ∈ R , B = b =
1 −2 3 7
−4
x4
(b) A und X wie bei Aufgabe (a), B = ~b = ~0 ∈ R3


 


0 1
1
x1
−3
1  ∈ R(3,3) , X = ~x =  x2  ∈ R3 , B = ~b =  −3  ∈ R3
(c) A =  1 2
1 2 −2
x3
3






1 1 3
x1 y 1
2 2
(d) A =  2 0 2  ∈ R(3,3) , X =  x2 y2  ∈ R(3,2) , B =  2 0  ∈ R(3,2)
1 2 5
x3 y 3
3 4
8. Gegeben ist die Matrizengleichung 5X + XA = ~y T . Stellen Sie die Gleichung nach
X um. Berechnen Sie anschließend X für den Fall, dass


 
1 −2 1
1
3 2  und ~y =  2  .
(A + 5E)−1 =  −1
0
1 4
3
Zusatz: Berechnen Sie A aus der vorgegebenen Matrix (A + 5E)−1 .
Lösungen:
1. A−1 =
(A · A)−1
3 −2
−2
1
−8
6
1
2
, (AT )−1 =
,
, ( 4 A)−1 =
3
4 −2
− 21
1 − 12
2
11
− 15
2
4
=
7
− 52
4
2. (a) t = −1
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(b) t = 1


5 −3
2
2 −1 
α 6= 0, A−1 =  −3
1 −1
1




3 −1
0
4 

0 −1 , U =  −26 
(a) A−1 =  −1


−1
1
1
25
−i 1
2−i
1
−1
, U=
(b) A = 2
1 −i
1 − 3i
−2 32
17
0
(a)
(b)
(c)
7
−7
0
−5 2
3 −4
5 4 −1
2
(d)
(e)
−1 0
1
1 − 52
1 2 1
0 −1 0
X=
, Y =
1 1 2
2
0 1




 


2
2
−1












0
1
0
4






(a) U = ~x ∈ R | ~x = 
+
s
+
t
,
s,
t
∈
R
 0 
 −2 
−2 






0
0
1


 


2
−1










1
0
4




(b) U = ~x ∈ R | ~x = s   + t 
,
s,
t
∈
R
0
−2 






0
1


1 

(c) U =  −1 


−2




1−t
−s


(d) U = X ∈ R(3,2) | X =  1 − 2t 2 − 2s  , s, t ∈ R


t
s


5
9 −7
X = (−1, 7, 17), A =  4 −1 −3 
−1 −1 −4