4. ¨Ubungsblatt - TU Darmstadt/Mathematik

TECHNISCHE
U N I V E R S I T Ä T
DARMSTADT
Prof. Dr. U. Reif
S. Fröhlich, N. Sissouno
WS 2005/2006
25.11.2005
4. Übungsblatt
Wiederholungsaufgaben
Logarithmusfunktion
Für reelles a > 0, a 6= 1, ist der Logarithmus loga zur Basis a definiert als
loga x = y
genau dann, wenn ay = x
für x > 0.
Der Logarithmus zur Basis e = 2.71 . . . heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet.
Der Logarithmus zur Basis a = 10 heißt dekadischer Logarithmus.
(W8) Berechnen Sie den Wert von x aus folgenden Gleichungen:
(ii) logx 2 = − 32
(i) log 21 256 = x3
(W9)
(iii) 2x ln x = 3ln x
(i) Zeigen Sie
loga x =
logb x
,
logb a
insbesondere gilt also für b = e : loga x =
ln x
.
ln a
(ii) Zeigen Sie folgende Rechenregeln:
(a) loga
1
x
= − loga x
(b) loga xr = r loga x
(c) loga (xy) = loga x + loga y
(W10) Skizzieren Sie die Funktionen
(i) ln x
für x > 0
(ii) ln |x|
für x ∈ R, x 6= 0
Präsenzaufgaben
(P11) Matrixprodukte
Berechnen Sie, insofern möglich, alle möglichen Produkte A · B, C · C usw.
Matrizen:



 
1 0
3 0 1
2
A = 1 3 5 , B = −1 , C = −1 1 8 , D =  2 0
−1 2
0 1 1
8
(12) Transponierte einer Matrix
(i) Berechnen Sie zu folgenden Matrizen jeweils die transponierte Matrix.




1 2
1 3
0
1 2 5
(b)
(c) 3 4
(a) A = 3 −2 −4
−4 4 0
5 8
0 −4 0
(ii) Finden Sie den Parameter α ∈ R, so daß gilt A · AT = AT · A mit
1 α
A=
3 2
(P13) Inverse Matrix
Berechnen Sie zu folgenden Matrizen jeweils die inverse Matrix.


1 0 −1
1 3
(i) A =
(ii) B = 3 2 0 
−2 0
0 1 2
zwischen folgenden

−1 3 2
1 0 4
5 0 1
Hausaufgaben
(H11) Matrixprodukte
Berechnen Sie, insofern möglich, alle möglichen Produkte zwischen folgenden



 
1
4
1
0
−1
0
A = 3 −2 3 , B =  0  , C = 1 0 3 , D = 
9
0 5 2
1
3
(H12) Rechnen mit Matrizen
(i) Zu der Matrix
A=
1 2
0 3
finde man die Menge aller (2 × 2)-Matrizen, so dass gilt A · B = B · A.
(ii) Zu der Matrix
A=
1 2 3
0 6 1
finde man eine (3 × 2)-Matrix B, so dass gilt A · B = E.
Berechnen Sie schließlich das Produkt B · A.
(H13) Berechnung der inversen Matrix
Berechnen Sie zu folgenden Matrizen jeweils die



3 7 0
1 −1
(i) A = −2 0 1
(ii) B = 0 2
1 1 0
0 0
2
inverse Matrix.

1
a

3
(iii) C =
c
4
b
d
Matrizen:

2 3
6 4

2 7
0 3