Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
2. Klausur
Wintersemester 2012/2013
28.03.2013
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Name des Tutors im Vorkurs Mathematik: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 14 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
15
2
15
3
15
4
15
5
15
6
15
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1.1: Mengenlehre (5 Punkte)
Gegeben seien die Teilmengen A und B einer Grundmenge Ω. Kreuzen Sie für
die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein
richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz
zählt 0 Punkte.
a) A ∩ B = A ∪ B
b) A ⊆ B ⇔ B ⊆ A
c) A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
d) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
e) a ∈ A ∩ B ⇔ a ∈ A ∩ B
a)
b)
c)
Wahr
Falsch
2
d)
e)
Aufgabe 1.2: Matrizen und Vektoren (5 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Vektoren:
 
 
−2
−1
a =   und b =  
4
5
Berechnen Sie die Ausdrücke ha, bi, A = a ⊗ b, B = b ⊗ a und AB.
3
Aufgabe 1.3: Diagonalisierbare Matrizen (5 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Matrizen:



−7 4
2
 und X = 
A=
−6 3
3

1

1
Berechnen Sie unter Verwendung der diagonalisierenden Matrix X die zu A
gehörige Diagonalmatrix D.
4
Aufgabe 2: Aussagenlogik (15 Punkte)
1. Prüfen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, ob es sich bei der Aussage
(A ⇒ C) ∧ (C ⇒ B) ∧ (A ∧ (¬B))
um eine Tautologie, eine Kontingenz oder eine Kontradiktion handelt.
2. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu
beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder
ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte.
a) ∀x ∈ N : x ≥ 0
b) ∃x ∈ R : x2 ≤ 0
c) ∀x ∈ R : x2 > 0
d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x · y = 1
e) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x − y = y − x
a)
b)
Wahr
Falsch
5
c)
d)
e)
Aufgabe 2: Aussagenlogik (15 Punkte)
6
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen (15 Punkte)
1. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) (4 − 7i) · (1 − 2i)
b) (2 − 5i) + (−3 − 3i) − (6 + i) + | − 7i|
2. Bestimmen Sie die Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichung:
−11z 2 + 132z − 440 = 0
3. Gegeben sei die komplexe Zahl
z = 2 + 2i
in algebraischer Form. Geben Sie z in trigonometrischer und exponentieller
Darstellung an.
7
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen (15 Punkte)
8
Aufgabe 4: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte)
Gegeben sei das lineare

1 −2


 2
1

1
a
Gleichungssystem

 

−4
x1
3

 


 

1   x2  =  2  ,

 

−b
x3
2
a, b ∈ R.
a) Bestimmen Sie für a = 1 und b = 4 die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
b) Für welche a, b ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine
Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen?
c) Geben Sie den zugehörigen Nullraum für a = 3 an.
9
Aufgabe 4: Lineares Gleichungssystem (15 Punkte)
10
Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

−1
−4


A= 1

1
1
6

−3


11  .

−2
a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A.
b) Berechnen Sie die Inverse A−1 der Matrix A unter ausschließlicher Verwendung der Adjungierten von A (Inversenformel).
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Aufgabe 5: Inverse Matrizen (15 Punkte)
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Aufgabe 6: Eigenwerte einer Matrix (15 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

3


A = 0

5
0
1
0
1



0 .

−1
a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A.
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A−1 , det(A−1 ) und spur(A−1 ).
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Aufgabe 6: Eigenwerte einer Matrix (15 Punkte)
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