Lineare Algebra II ¨Ubungsblatt 10

Lineare Algebra II
Übungsblatt 10
Prof. Dr. Nikita Semenov
SoSe 2017
Aufgabe 1. Finde die Jordansche Normalform für folgende Matrizen A, sowie
eine invertierbare Matrix Q, sodass Q−1 AQ in Jordanscher Normalform ist.




13 16 16
1
1 −1
3 ∈ M3 (C).
a)
A = −5 −7 −6 ∈ M3 (C), b)
A = −3 −3
−6 −8 −7
−2 −2
2
Hinweise: a) Eigenwerte von A sind: 1 und −3. b) Eigenwerte von A sind: 0.
Aufgabe 2. Sei


1 −2
0
2 −2 ∈ M3 (R).
A = −2
0 −2
3
Finde eine Matrix Q ∈ O3 (R) sodass Q−1 AQ diagonal ist.
Aufgabe 3. Sei
a b
A=
∈ M2 (Z).
c d
Zeige: A3 = E genau dann wenn A = E oder a + d = −1 und ad − bc = 1.
Aufgabe 4. Sei A ∈ GLn (C) sodass Am für ein m ∈ N diagonalisierbar ist.
Zeige: A ist diagonalisierbar.
Hinweis: Benutze die multiplikative Jordan–Chevalley–Zerlegung (Aufgabe 4,
Übungsblatt 9).
Aufgabe 5. Seien n, m ≥ 1. Berechne alle Matrizen A ∈ Mn (C) sodass A nur
einen Eigenwert hat und Am = E.
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