Lineare Algebra II - Institut für Mathematik
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Institut für Mathematik A. Kresch 08.04.2014 Übung zur Vorlesung Lineare Algebra II FS 2014 - Übungsblatt 7 Abgabe Dienstag, 15.04.2014, vor der Vorlesung im Raum Y03G95 1 Zeigen Sie, dass die 2 × 2 normalen Matrizen über R sind: (A) symmetrische Matrizen sowie (B) Matrizen der Form S + µE2 , wobei S eine verschiedene von Null schiefsymmetrische reelle 2 × 2 Matrix und µ eine reelle Zahl ist. (3 Punkte) 2 Zeigen Sie, dass die Matrizen der Form (A), oben, diagonalisierbar sind, während diejenigen der Form (B) nicht diagonalisierbar sind. (3 Punkte) 3 Seien (V, h , i) ein euklidischer Raum mit dim(V ) > 0 und F : V → V ein normaler Endomorphismus, der keinen Eigenwert hat. (a) Zeigen Sie, dass es einen zweidimensionalen Untervektorraum U ⊂ V gibt, mit F (U ) = U . (b) Zeigen Sie: Ist U ⊂ V ein Untervektorraum mit F (U ) = U , so gilt F (U ⊥ ) = U ⊥ . (6 Punkte) 4 Seien (V, h , i) ein euklidischer Raum und F : V → V ein normaler Endomorphismus. Beweisen Sie, dass es eine Orthonormalbasis u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vs , ws von V sowie reelle Zahlen λ1 , . . . , λr , µ1 , ν1 , . . . , µs , νs mit ν1 , . . . , νs 6= 0 gibt, so dass der Endomorphismus F bezüglich der Orthonormalbasis dargestellt wird durch die Blockdiagonalmatrix D B1 . .. Bs mit Blöcken D := diag(λ1 , . . . , λr ) ∈ Mr (R) (Diagonalmatrix), µj −νj Bj := ∈ M2 (R) für alle j. νj µj (8 Punkte)
