Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 fprotect {grmnU@D

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. M. Kaplan
SoS 2012
Blatt 9
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2
für das Lehramt an beruflichen Schulen
Übung (11. Juni 2012)
Ü 22) (Staatsexamen Herbst 1999)
Für c ∈ R sei die reelle Matrix Ac gegeben:
0
1
Ac = 
0
0

c
0
1
0
0
c
0
1

0
0
.
c
0
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von Ac .
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von c ∈ R alle (reellen oder komplexen) Eigenwerte von Ac .
c) Für welche c ∈ R ist Ac reell diagonalisierbar, für welche c ∈ R diagonalisierbar über C ?
Ü 23) (Staatsexamen Frühjahr 1993)
Man betrachte die Menge
M :=
1 a
0 0
1 0
|a∈R ∪
|b∈R
b 0
von reellen 2 × 2-Matrizen.
a) Zeigen Sie: Je zwei Matrizen A, B ∈ M sind zueinander ähnlich, d.h. es gibt ein invertierbares
S ∈ R2×2 mit S −1 BS = A .
1 a
1 0
b) Geben Sie zu A =
und B =
aus M solch ein S an.
0 0
b 0
c) Gibt es noch andere Matrizen in R2×2 , die nicht aus M sind und die zu den Matrizen aus M
ähnlich sind?
Hausaufgaben (Abgabe: 18. Juni 2012)
H 20) (Staatsexamen Frühjahr 2001)
Es seien V ein 4-dimensionaler Vektorraum über dem Körper R der reellen Zahlen und B =
{b1 , . . . , b4 } eine Basis von V . Der Endomorphismus f : V → V sei gegeben durch die Bilder
der Basisvektoren:
f (b1 ) := 0, f (b2 ) := 2b2 , f (b3 ) := b4 , f (b4 ) := 6b2 − b4 .
a) Ermitteln Sie eine Basis von Kern f und eine Basis von Bild f . Ist f injektiv, surjektiv?
b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von f .
c) Zeigen Sie: f ist diagonalisierbar. Geben Sie eine Basis von V an, bezüglich der f durch
eine Diagonalmatrix beschrieben wird.
H 21) (Staatsexamen Herbst 1997)
Es seien V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum und f ein Endomorphismus von V mit den
Eigenwerten 1 und −1 . Der Eigenraum von f zum Eigenwert 1 sei U .
Beweisen Sie: Wenn der Eigenwert 1 die geometrische Vielfachheit 2 hat, so liegt für jedes
v ∈ V der Mittelpunkt der Strecke von v nach f (v) in U .
Bitte wenden !
H 22) (Staatsexamen Frühjahr 1987)
Die Abbildung f : R3×3 → R3×3 des Vektorraums der reellen 3 × 3 -Matrizen in sich sei gegeben
durch f (A) = tA .
a) Man zeige, dass f linear ist.
b) Man zeige, dass der Endomorphismus f nur die Eigenwerte 1 und −1 hat.
c) Man bestimme die Dimension der Eigenräume und gebe Basen für die Eigenräume an.
d) Man zeige, dass f diagonalisierbar ist.
e) Man bestimme das charakteristische Polynom, die Spur und die Determinante von f .
Ergänzungen (22. Juni 2012)
E 20) (Staatsexamen Frühjahr 1993)
Gegeben seien die Matrizen
A=
1 1+i
0 1
und B =
√ − 21 − 12 3
√
1
− 12
2 3
Berechnen Sie A2000 und B 2000 (d.h. die 2000ste Potenz von A und von B ).
E 21) (Staatsexamen Herbst 2001)
E = (e1 , e2 ) bezeichne die kanonische Basis des R2 . Die Endomorphismen f und g des R2
seien gegeben durch
f (e1 ) = 2e1 , f (e2 ) = e2 , g(e1 − e2 ) = c · (e1 − e2 ) , g(e1 ) = e1 ,
wobei c ein reeller Parameter ist.
a) Berechnen Sie die Abbildungsmatrizen von f , g und f ◦ g bzgl. der Basis E .
b) Untersuchen Sie, für welche c ∈ R die Abbildung f ◦ g diagonalisierbar ist.
E 22) (Staatsexamen Frühjahr 1992)
Sei A eine reelle n × n-Matrix mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten und B eine reelle
n × n-Matrix mit AB = BA . Man zeige: B ist diagonalisierbar.