Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2, Lehramt an
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Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. B. Riedmüller
Dr. M. Kaplan
SoS 2002
Blatt 9
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2
Lehramt an beruflichen Schulen
Übung
Ü 25) (Staatsexamen Herbst 1997)
Es sei V der Vektorraum der n × n-Matrizen über
t
R
t
und ϕ der durch ϕ(A) = A + A definierte
Endomorphismus auf V . Dabei bezeichnet A die Transponierte der Matrix A .
a) Man bestimme dim(Kern(ϕ)) und dim(ϕ(V )) .
b) Man bestimme das charakteristische Polynom von ϕ .
Ü 26) (Staatsexamen Herbst 1996)
Man zeige, dass eine orthogonale Matrix A ∈ Rn×n mit det A = −1 den Eigenwert −1 hat.
Hinweis: Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt orthogonal, wenn AAT = E ist.
Ü 27) Sind die folgenden Matrizen ähnlich?
2 0 0 0
2
0
2
0
0
0
A=
,B=
0 0 2 0
0
0 0 0 2
0
1
2
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
,C=
0
0
2
0
1
2
0
0
0
0
2
0
0
2
0
0
,D=
1
0
2
0
1
2
0
0
0
1
2
0
0
0
.
1
2
Ü 28) Zeigen Sie: Eine Matrix A ∈ K n×n ist genau dann zu einer Diagonalmatrix
λ1 0
0
0
0 λ2
= diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )
D=
..
.
0
0
λn
ähnlich, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren v1 , . . . , vn zu den (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerten λ1 , . . . , λn ∈ K gibt.
Eine solche Matrix A heißt diagonalisierbar über K .
Ü 29) (Staatsexamen Herbst 1997)
Es seien ϕ , ψ Endomorphismen des Rn mit ϕψ = ψϕ . Ferner sei λ ein Eigenwert von ϕ , sowie
Uλ der zugehörige Eigenraum. Man zeige:
ψ(Uλ ) ⊂ Uλ
Hausaufgaben (Abgabe: 19. Juni 2002, 15 Uhr)
H 40) (Staatsexamen Frühjahr 1991)
Seien a und b reelle Zahlen mit a2 + b2 = 1 . Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenräume der
Matrix
1 2
−ab
(a − b2 ) 0
2
A=1 2
.
2
(a − b )
ab
0
2
0
0
1
Bitte wenden !
H 41) Gegeben sind die Vektoren des R3
1
1
2
3
1
4
a1 =
2
, b1 =
2
, a2 = 1 , b2 = 3 , a3 = −1 , b3 = 2 .
−1
−1
2
1
2
3
Die lineare Abbildung f : R3 → R3 habe die Eigenschaft f (ai ) = bi für i = 1, 2, 3 .
a) Ist f eindeutig bestimmt?
b) Ist f injektiv oder surjektiv?
c) Ermitteln Sie die Abbildungsmatrix FCC von f bezüglich der geordneten Basis C = (c1 , c2 , c3 )
des R3 mit
1
1
1
c1 = 0 , c2 = 1 , c3 = 1
0
0
1
d) Ermitteln Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenräume von f .
H 42) (Staatsexamen Herbst 1993)
Sei n eine natürliche Zahl ≥ 2 , und sei A = (aij ) die reelle n × n-Matrix mit
aij = 1 für alle i, j ∈ {1, . . . , n}.
Warum sind 0 und n Eigenwerte von A ? Welche Dimension haben die zugehörigen Eigenräume?
Warum hat A keine weiteren Eigenwerte?
H 43) (Staatsexamen Frühjahr 1999)
In einem reellen vierdimensionalen Vektorraum V sei B = {b1 , b2 , b3 , b4 } eine Basis. Ferner seien
c1 := 34 b1 − 14 b2 + 34 b3 − 14 b4 ,
c2 := 14 b1 + 14 b2 + 14 b3 + 14 b4 .
Es gibt bekanntlich genau eine lineare Abbildung f : V → V mit
f (b1 ) = c1 , f (b2 ) = c2 , f (b3 ) = −c1 , f (b4 ) = −c2 .
a) Ermitteln Sie f 2 = f ◦ f .
b) Geben Sie – ohne Ermittlung des charakteristischen Polynoms – alle Eigenwerte von f an.
c) Ist f diagonalisierbar? (Begründung!).
H 44) (Staatsexamen Herbst 1996)
Im R -Vektorraum aller Abbildungen von
x
f (x) := e ,
R
in
R
x
g(x) := xe ,
betrachte man den von den Funktionen
h(x) := e−x ,
aufgespannten Unterraum V = Rf + Rg + Rh .
x ∈ R.
a) Zeigen Sie, dass die (bekanntlich lineare) Differentiation einen Endomorphismus
ϕ : V → V , F 7→ F 0
von V liefert.
b) Zeigen Sie, dass (f, g, h) eine Basis von V ist.
c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von ϕ .
Die ersten beiden Teilaufgaben waren schon (mit etwas abgewandelter Formulierung) auf Blatt 4
(H 16) zu bearbeiten. Verdeutlichen Sie sich also nochmals deren Lösung und lösen Sie jetzt nur c)!
