Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2, Lehramt an

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. B. Riedmüller
Dr. M. Kaplan
SoS 2002
Blatt 7
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 2
Lehramt an beruflichen Schulen
Übung
Ü 17) Es seien K ein Körper, n ∈
(1)
N , und
A ∈ K n×n regulär. Zeigen Sie:
(A−1 )T = (AT )−1 ,
(2)
det(A−1 ) = (det(A))−1 .
Ü 18) Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und B = {b1 , . . . , bn } eine Basis von V .
Zeigen Sie: Die Menge B̂ = {b̂1 , . . . , b̂n } mit
b̂k =
n
X
tik bi , k = 1, . . . , n
i=1
ist genau Basis von V , wenn die Transformationsmatrix T = (tik ) ∈ K n×n regulär ist.
Ü 19) Eine lineare Abbildung f :
R2 → R3
sei gegeben durch


−1 2
y = f (x) = F x, mit F =  1 1  .
2 −1
a) Ist die Abbildung f injektiv, ist sie surjektiv?
b) Ermitteln Sie die Matrix FCB von f bezüglich der geordneten Basen B = (b1 , b2 ) des
und C = (c1 , c2 , c3 ) des 3 mit






−1
1
1
1
1
b1 =
, b2 =
, c1 =  1  , c2 =  −1  , c3 =  1  .
1
−1
1
1
−1
R
c) Geben Sie Basen P = (p1 , p2 ) des
FQP von f in Normalform ist.
R2
und Q = (q1 , q2 , q3 ) des
R3
R2
so an, dass die Matrix
Ü 20) (Staatsexamen Frühjahr 1987)
Seien A , B reelle n × n-Matrizen mit den Rängen rA , rB .
a) Man zeige: AB = 0 ⇒ ra + rB ≤ n .


1 2 3
b) Zu A =  2 3 1  konstruiere man eine 3 × 3-Matrix B 6= 0 mit AB = 0 .
4 7 7
Ü 21) (Staatsexamen Frühjahr 1985)
Sei V der -Vektorraum aller reellen 2×2-Matrizen. Zu untersuchen ist die Abbildung f : V → V
1 1
1 1
f (X) = SXT mit S =
und T =
.
0 0
0 1
R
a) Man zeige, dass f linear ist.
b) Man wähle eine Basis von V und bestimme die zugehörige darstellende Matrix von f .
Bitte wenden !
Hausaufgaben (Abgabe: 5. Juni 2002, 15 Uhr)
Rm×n . Zeigen Sie: Rang(A) = Rang(AT A) .
Es sei M eine feste nichtsinguläre Matrix aus Rn×n . Ferner sei
f (X) := M −1 XM, X ∈ Rn×n .
a) Zeigen Sie: f ist ein Endomorphismus von Rn×n .
H 30) Es seien m, n ∈
H 31)
N
und A ∈
b) Ermitteln Sie Kern f .
H 32) Eine lineare Abbildung f :
R3 → R4
sei gegeben durch

1
 2
y = f (x) = F x mit F = 
−1
2
−2
0
1
−1

−1
−3 
.
2
−2
a) Ist die Abbildung f injektiv, ist sie surjektiv?
R
b) Ermitteln Sie die Matrix FCB von f bezüglich der geordneten Basen B = (b1 , b2 , b3 ) des 3
und C = (c1 , c2 , c3 , c4 ) des 4 mit






 


 
 
1
1
1
1
1
2
1
−1
1
−1
1







b1 =  −1  , b2 =  1  , b3 =  1  , c1 = 
 , c2 = 
 , c3 = 
 , c4 =   .
1
−1
−1
1
0
0
1
−1
−1
1
1
R
c) Geben Sie Basen P = (p1 , p2 , p3 ) des
Matrix FQP von f in Normalform ist.
H 33) (Staatsexamen Herbst 1988)
Seien
 
x1
x 
U = {x =  2  ∈
x3
x4
R
R3
und Q = (q1 , q2 , q3 , q4 ) des
2
2
4
| x1 + 2x2 = x3 + 2x4 } und A = 
6
0
a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von

R4
2
4
8
1
R4
−1
−1
−3
0
so an, dass die

−1
−3 
.
−7
0
ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis von U .
c) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung f : V → V mit f (x) = Ax den Unterraum U in sich
abbildet.
d) Bestimmen Sie die darstellenden Matrix von g = f |U : U → U bezüglich der in Teil b) angegebenen Basis. Stellen Sie weiter fest, ob g ein Automorphismus ist.
H 34) (Staatsexamen Herbst 1984)
Sei f : 2n → n eine lineare Abbildung. Man zeige dim(Kern f ) ≥ n .
R
R