Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
22.11.2013
Alexander Lytchak
1 / 14
Wiederholung
I
Die Zuordnung A → fA definiert einen Vektorraumisomorphismus
zwischen dem Vektorraum der Rm×n -Matrizen und dem Vektorraum
Hom(Rn , Rm ) aller linearen Abbildungen von Rn nach Rm .
I
Das Produkt von A · B von Matrizen ist genau dann definiert, wenn
die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist.
I
Es gilt fA·B = fA ◦ fB .
I
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, aber nicht kommutativ.
I
Die Matrizen A, die Isomorphismen fA entsprechen, sind genau die
invertierbaren Matrizen. Produkte von invertierbaren Matrizen sind
invertierbar.
I
Die Abbildung fA : Rn → Rm schickt einen Vektor x ∈ Rn auf den
Vektor A · x, wobei man x als eine n × 1-Matrix und die m × 1-Matrix
A · x als ein Element im Rm auffasst.
Wenn keine Verwechselung möglich ist, werden wir die Matrix A mit
der Abbildung fA identifizieren und letztere auch mit A bezeichnen.
Alexander Lytchak
2 / 14
Matrixmultiplikation
Für A1 , A2 ∈ Rm×n und B1 , B2 ∈ Rn×r und λ ∈ R gilt:
I
A1 · (B1 + B2 ) = A1 · B1 + A1 · B2 ,
I
(A1 + A2 ) · B1 = A1 · B1 + A2 · B1 ,
I
A1 · (λB1 ) = (λA1 ) · B1 = λ(A1 · B1 ).
I
Sei A ∈ Rm×n beliebig. Sei B = Eg ,h ∈ Rn×r die (gh)-te Matrix aus
der Standardbasis von Rr ×n , für 1 ≤ g ≤ n und 1 ≤ h ≤ r . Dann hat
die Produktmatrix C = A · B als h-te Spalte die g -te Spalte von A
und sonst nur Nullen.
I
Sei A ∈ Rm×n beliebig. Sei B ∈ Rn×r beliebig. Sei A = Eg ,h ∈ Rm×n ,
für 1 ≤ g ≤ m und 1 ≤ h ≤ n. Dann hat die Produktmatrix
C = A · B als g -te Zeile die h-te Zeile von A und sonst nur Nullen.
Alexander Lytchak
3 / 14
I
Sei n = r und sei B eine Diagonalmatrix mit Einträgen λ1 , ..., λn .
Dann entsteht A · B aus A, indem die j-te Spalte von A mit λj
multipliziert wird, für 1 ≤ j ≤ n.
I
Sei m = n und sei A eine Diagonalmatrix mit Einträgen λ1 , ..., λm .
Dann entsteht A · B aus B, indem die i-te Zeile von A mit λi
multipliziert wird, für 1 ≤ i ≤ m.
I
Sei m = n, seien k 6= l zwischen 1 und n. Sei λ ∈ R. Betrachte die
(n × n)-Matrix Rk,l (λ) = En + λEk,l , die sich von En nur durch den
(kl)-ten Eintrag unterscheidet. Dann entsteht die Matrix Rk,l (λ) · B
aus B, indem wir zur k-ten Zeile das λ-fache der l-ten Zeile addieren.
I
Unter denselben Voraussetzungen entsteht A · Rk,l (λ) aus A, indem
wir zur l-ten Spalte das λ-fache der k-ten Spalte addieren.
I
Rk,l (λ) is invertierbar und es gilt (Rk,l (−λ))−1 = Rk,l (−λ).
Alexander Lytchak
4 / 14
Eine (n × n)-Matrix heißt eine Permutationsmatrix, wenn in jeder Spalte
und jeder Zeile genau eine Eins steht und sonst nur Nullen.
Proposition
Eine (n × n)-Matrix P ist eine Permutationsmatrix genau dann, wenn fP
eine bijektive Abbildung der (Menge der Elemente der) Standardbasis B in
sich definiert, d.h., wenn es eine bijektive Abbildung
σ : {1, ..., n} → {1, ....n} gibt, mit der Eigenschaft fP (ej ) = eσ(j) für
1 ≤ j ≤ n. Wir schreiben P = Pσ .
I
Jede Permutationsmatrix ist invertierbar, und ihre Umkehrung ist eine
Permutationsmatrix.
I
Das Produkt von zwei Permutationsmatrizen ist wieder eine
Permutationsmatrix.
I
Ist m = n und ist A eine Permutationsmatrix, Pσ so entsteht A · B
aus B durch eine σ entsprechende Vertauschung der Zeilen.
I
Ist n = r und ist B eine Permutationsmatrix Pσ , so entsteht A · B aus
A durch eine σ −1 entsprechende Vertauschung der Spalten.
Alexander Lytchak
5 / 14
Elementare Zeilenumformungen von Matrizen ergeben sich also durch
Multiplikationen von links mit vorher beschriebenen Elementarmatrizen.
Alexander Lytchak
6 / 14
Darstellende Matrizen
Seien V , W reelle Vektorräume f : V → W eine lineare Abbildung. Es sei
B = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , C = (w1 , . . . , wm ) eine Basis von W .
Seien ΦB : Rn → V und ΦC : Rm → W die entsprechenden
Koordinatensysteme.
Die Abbildung
n
m
Φ−1
C ◦ f ◦ ΦB : R → R
ist linear. Aslo hat es die Form fA mit einer eindeutig bestimmten Matrix
A ∈ Rm×n .
Definition
Die Matrix A heißt die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B
(von V ) und C (von W ). Sie wird auch mit MCB (f ) bezeichnet.
Alexander Lytchak
7 / 14
Darstellende Matrizen (Fortsetzung)
Die Spalten der darstellenden Matrix A = (aij ) sind durch die folgende
Gleichung bestimmt:
f (vj ) =
m
X
aij wi , 1 ≤ j ≤ n.
i=1
Wir erhalten also die folgende Merkregel:
Die j-te Spalte der darstellenden Matrix ist der Koordinatenvektor
bezüglich C des Bildes des j-ten Basisvektors von B.
Alexander Lytchak
8 / 14
Die Matrix MCB (f ) hat also die Eigenschaft, dass das folgende Diagramm
von Vektorräumen und linearen Abbildungen kommutiert:
Rn
MCB (f )
/ Rm
∼
= ΦB
V
∼
= ΦC
f
/W
Bemerkung
I
Wir werden in MCB (f ) manchmal auf die hoch- und tiefgestellten
Indizes verzichten, wenn klar ist, bezüglich welcher Basen wir arbeiten.
I
Sei A ∈ Rm×n und betrachte fA : Rn → Rm , so ist A die darstellende
Matrix von fA bezüglich der kanonischen Basen von Rm und Rn .
I
Die Zuordnung f → MCB (f ) definiert einen Isomorphismus von
Vektorräumen Hom(V , W ) → Rm×n . Der Isomorphismus hängt von
der Wahl der Basen ab!
Alexander Lytchak
9 / 14
I
Die Nullabbildung hat bezüglich beliebiger Basen 0 als darstellende
Matrix.
I
Sei m = n und sei f ein linearer Isomorphismus mit f (vj ) = wj . Dann
gilt MB
C (f ) = En .
I
Sei V = W und sei f die Streckung mit λ. Für jede Basis B von V
gilt MB
B (f ) = λEn
I
Sei V = W = R2 . Sei B die Standardbasis. Sei C = (v1 , v2 ), wobei
1
1
v1 =
, v2 =
1
−1
Sei f die lineare Abbildung mit f (v1 ) = v1 und f (v2 ) = 3v2 . Dann ist
MCC (f ) die Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und 3. Aber bezüglich B
wird f dargestellt durch
2 −1
.
−1 2
Alexander Lytchak
10 / 14
Beispiel
Es seien die Basen

    
1
1
1






0 , 1 , 1 
B=
0
0
1
von R3 und
C=
1
0
1
,
1
von R2 gegeben. Dann ist die darstellende Matrix der linearen Abbildung
1 2 0
A :=
: R3 → R2
0 1 1
bezüglich dieser Basen gegeben durch die Matrix
1 2 1
.
0 1 2
Alexander Lytchak
11 / 14
Darstellende Matrizen und Komposition
Proposition
Es seien U, V und W endlichdimensional, es seien Basen B von U, C von
V und D von W gewählt, und es seien f : U → V , g : V → W linear. Es
seien A und B die darstellenden Matrizen von f und g bzgl. der gewählten
Basen.
Dann wird die lineare Abbildung g ◦ f : U → W bezüglich der Basen B
und D durch die Matrix B · A dargestellt.
In Kurzschreibweise:
C
B
MD
(g ) ◦ MCB (f ) = MD
(g ◦ f ).
Alexander Lytchak
12 / 14
Koordinatentransformation
Definition
Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und es seien B und C
zwei Basen von V . Die darstellende Matrix der Identität idV : V → V
bezüglich der Basen B und C heißt Matrix der Koordinatentransformation
bzgl. der Basen B und C, geschrieben TCB .
Insbesondere kommutiert folgendes Diagramm:
Rn
TCB (f )
/ Rn
ΦB
! ΦC
V
Alexander Lytchak
13 / 14
Bemerkung
I
Die Spalten von TCB genau die Koordinatenvektoren der Basisvektoren
aus B bezüglich der Basis C.
I
Man beachte, dass nach Konstruktion
B −1
TCB = Φ−1
= TBC .
C ◦ ΦB =⇒ (TC )
Proposition
Es seien V und W endlichdimensionale K -Vektorräume mit dim V = n
und dim W = m. Es seien B, B 0 Basen von V und C, C 0 Basen von W . Es
sei f : V → W linear.
Dann gilt die Gleichung
0
0
MCB0 (f ) = TCC0 · MCB (f ) · TBB .
Alexander Lytchak
14 / 14