Lineare Algebra - Universität Koblenz · Landau

Lineare Algebra
Prof. Dr. Thomas Götz
Dr. Mark Steinhauer
FB 3 — Mathematisches Institut
Übung 7
31. Mai 2017
Diese Aufgabenblatt enthält insgesamt 11 Aufgaben. Die ersten fünf Aufgaben (Nr. 38–42) sind
Präsenzaufgaben für die Übungen nach den Pfingstferien.
Die folgenden sechs Aufgaben (Nr. 43–48) sind Hausaufgaben und können als Probeklausur beim
derzeitigen Stand der Vorlesung angesehen werden.
Wir empfehlen sehr diese Aufgaben zu bearbeiten, und bei der Bearbeitung auf die Zeit zu achten.
Die Klausur wird 90 Minuten dauern.
Aufgabe 38: (HA) Sei V ein R–Vektorraum und B = (b1 , . . . , bn ) eine Basis von V . Zeigen Sie,
dass B ∗ = (b∗1 , . . . , b∗n ) mit
(
1 für i = j
∗
bj (bi ) = δij :=
0 für i 6= j
eine Basis des Dualraums V ∗ darstellt. Diese Basis wird die zu B duale Basis genannt, vgl. Satz
3.4 der Vorlesung.
Aufgabe 39: Gegeben seien die Vektoren d1 = (1, 2, 0)T , d2 = (0, 1, 1)T und d3 = (1, 1, 0)T . Zeigen
Sie, dass X = (d1 , d2 , d3 ) eine Basis des R3 ist und berechnen Sie die duale Basis.
Aufgabe 40:
f
g
(HA) Seien R4 −→ R2 −→ R3 gegeben durch
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) := (x1 + 2x2 + x3 , x1 − x4 )T
g(y1 , y2 ) := (y1 + y2 , y1 − y2 , 3y1 )T .
Ausserdem sei A = ((1, 0, 1, 0)T , (1, 4, 2, 2)T , (1, 1, 1, 1)T , (2, 0, 3, 0)T ) ⊂ R4 , B die kanonische Standardbasis des R2 und C = ((1, 3, 4)T , (2, 0, 1)T , (1, 1, 2)T ).
(a) Zeigen Sie, dass A eine Basis des R4 und C eine Basis des R3 ist.
(b) Bestimmen Sie g ◦ f und die Matrixdarstellung
• Af,A,B von f bezüglich der Basen A, B,
• Ag,B,C von g bezüglich der Basen B, C.
• Ag◦f,A,C von g ◦ f bezüglich der Basen A, C.
Aufgabe 41: Es seien R, L, D ∈ Rn×n eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix bzw. eine Diagonalmatrix. Zeigen Sie, daß R, L, D genau dann regulär sind, wenn jeweils alle Diagonaleinträge von
Null verschieden sind.
(vgl. Lemma nach Definition 4.2 der Vorlesung.)
Aufgabe 42:
(a) Zeigen Sie durch ein Beispiel, daß für eine Matrix A ∈ R2×2 die Matrix
!
1
1
B=
a11
1
a21
a12
1
a22
nicht die Inverse von A ist.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Eine Matrix A ∈ Rn×n ist genau dann regulär, wenn alle Einträge von Null verschieden sind.
Besprechung in der 24. Woche
Hausaufgaben: Aufgabe 38; Aufgabe 40.
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Lineare Algebra
FB 3 — Mathematisches Institut
Prof. Dr. Thomas Götz
Dr. Mark Steinhauer
Übung 7
31. Mai 2017
Aufgabe 43: Betrachten Sie die Vektoren v1 = (3, 5, 2, 2)T , v2 = (1, 1, 1, −1)T , v3 = (3, 6, 2, 2)T , v4 =
(4, 7, 3, 2)T , w1 = (1, 3, 0, 2)T und w2 = (−2, 1, 2, 1)T des R4 .
(a) Zeigen Sie, dass B = (v1 , v2 , v3 , v4 ) eine Basis des R4 bildet und dass F = (w1 , w2 ) linear
unabhängig ist.
(b) Bestimmen Sie eine neue Basis C des R4 , die die beiden Vektoren aus F enthält; vgl. Satz
1.2 der Vorlesung (Austauschlemma).
Aufgabe 44:
Zeigen Sie, dass die Matrizen der Form
cos α − sin α
sin α cos α
mit α ∈ R bezüglich der Matrizenmultiplikation eine abelsche Gruppe bilden. Wie läßt sich dieser
Sachverhalt geometrisch interpretieren?
Hinweis: Die Additionstheoreme für cos und sin helfen!
Aufgabe 45:
Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt symmetrisch, falls A = AT gilt.
(a) Zeigen Sie, dass die symmetrischen Matrizen einen Untervektorraum Sym(Rn×n ) von Rn×n
bilden. Geben Sie die Dimension und eine Basis von Sym(Rn×n ) an.
(b) Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt schiefsymmetrisch, falls A = −AT gilt. Zeigen Sie, dass die
schiefsymmetrischen Matrizen ebenfalls einen Untervektorraum Alt(Rn×n ) von Rn×n bilden.
Bestimmen Sie auch für Alt(Rn×n ) die Dimension und eine Basis.
1
1
(c) Für A ∈ Rn×n sei As := (A + AT ) und Aa := (A − AT ). Zeigen Sie: As ist symmetrisch,
2
2
Aa ist schiefsymmetrisch, und es gilt A = As + Aa .
(d) Beweisen Sie: Rn×n = Sym(Rn×n ) ⊕ Alt(Rn×n ).
Aufgabe 46:
Sei F : Rn → Rm (mit n und m geeignet) gegeben durch die folgenden Matrizen:


1 1 0 1 0
0 1 1 0 0
1 2 3

bzw. 
1 1 0 0 1 .
4 5 6
0 1 1 0 0
Bestimmen Sie jeweils eine Basis von ker F und Im F .
Aufgabe 47: Eine reelle (3 × 3)–Matrix heißt ein magisches Quadrat, wenn alle Zeilensummen,
alle Spaltensummen und alle Diagonalsummen einander gleich sind. Fassen Sie die Menge aller
magischen Quadrate als Teilmenge des R9 auf.
(a) Zeigen Sie, dass M ein Untervektorraum von R9 ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis von M .
Aufgabe 48:
Zeigen Sie, dass die Abbildung
f : R→R
2×2
,
x 7→
1 x
0 1
injektiv ist und für x, y ∈ R die Beziehung f (x + y) = f (x) · f (y) erfüllt.
Besprechung in der 24. Woche
Hausaufgaben: Aufgabe 38; Aufgabe 40.
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