Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
26.11.2013
Alexander Lytchak
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Wiederholung
I
Ist B = (v1 , ..., vn ) eine Basis eines Vektorraums V , so erhalten wir
einen Isomorphismus ΦB : Rn → V , den wir Koordinatensystem
genannt haben.
I
Ist C = (w1 , ..., wm ) eine Basis eines Vektorraums W und sei
f : V → W eine lineare Abbildung. Hat der Bildvektor f (vj ) bezüglich
der Basis C die Koordinaten (aij ), d.h., gilt
f (vj ) = a1j w1 + a2j w2 + .... + amj wm , so sind die (aij ) die Einträge
der darstellenden Matrix MCB (f ) ∈ Rm×n des Homomorphismus f
bezüglich der Basen B und C.
I
Die Abbildung f → MCB (f ) ist ein Isomorphismus von Vektorräumen
Hom(V , W ) → Rm×n .
I
Die darstellende Matrix hängt von der Wahl der Basen B und C ab.
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Koordinatentransformation
Definition
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum, und seien B und C zwei
Basen von V . Die darstellende Matrix der Identität idV : V → V bezüglich
der Basen B und C heißt Matrix der Koordinatentransformation bzgl. der
Basen B und C, geschrieben TCB .
I
Die Spalten von TCB sind genau die Koordinatenvektoren
P der
Basisvektoren in B bezüglich der Basis C. D.h. vj = tij wi .
I
Hat ein
 Vektor
 v ∈ V bezüglich der Basis B Koordinaten
x1
 .. 
 . 
P
n

x =
 ..  ∈ R , d.h., gilt v = xj vj , dann hat v bezüglich C die
 . 
xn
Koordinaten TCB · x
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I
Nach Konstruktion gilt
TCB = Φ−1
C ◦ ΦB
I
Folglich ist jede Transformationsmatrix invertierbar, und wir haben
(TCB )−1 = TBC
I
Ist eine Basis B = (v1 , ..., vn ) von V gegeben, und ist T eine
invertierbare (n × n)-Matrix, so gibt es genau eine Basis C von V mit
TBC = T .
I
Ist eine Basis B = (v1 , ..., vn ) von V gegeben, und ist T eine
invertierbare (n × n)-Matrix, so gibt es genau eine Basis C von V mit
TCB = T .
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Transformation der darstellenden Matrix
Proposition
Sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen
Vektorräumen. Seien B, B 0 Basen von V und C, C 0 Basen von W .
Dann gilt die Gleichung
0
0
MCB0 (f ) = TCC0 · MCB (f ) · TBB .
Folgerung
Sei eine lineare Abbildung f : V → W gegeben, die bezüglich Basen B von
V und C von W die Matrixdarstellung A = MCB (f ) ∈ Rm×n besitzt. Dann
besitzt f bezüglich beliebiger anderer Basen eine Matrixdarstellung der
Form T1 · A · T2 mit invertierbaren Matrizen T1 ∈ Rm×m und T2 ∈ Rn×n .
Andererseits ist jede Matrix A1 , die man als Produkt T1 · A · T2 mit
invertierbaren T1 , T2 schreiben kann, die darstellende Matrix von f
bezüglich anderer Basen von V und W .
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Folgerung
Sei f : V → V ein Endomorphismus. Sei B eine Basis von V . Sei
A = MBB (f ) die darstellende quadratische Matrix des Endomorphismus f
bezüglich der Basis B. Bezüglich einer anderer Basis B 0 von V hat f die
0
darstellende Matrix der Form MBB0 (f ) = S · A · S −1 für eine invertierbare
Matrix S. Andererseits ist jede Matrix der Form S · A · S −1 die darstellende
Matrix von f bezüglich einer Basis von V .
Dieses Resultat motiviert die folgende Definition, die uns noch sehr lange
beschäftigen wird. Zwei (n × n)-Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es
eine invertierbare Matrix S gibt, so dass S · A · S −1 = B gilt.
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I
Seien V und W endlich-dimensionale reelle Vektorräume und
f : V → W linear. Die Wahl von Basen von V und W ordnet der
linearen Abbildung f Koordinaten als eine Matrix zu. Dabei
produzieren verschiedene Basen aus demselben f ganz
unterschiedliche Matrizen. Es ist für viele konkrete und abstrakte
Fragen von fundamenatler Wichitgkeit, die Abbildung in möglichst
einfacher Form darzustellen. Es gibt zwei verschieden Varianten dieser
Frage:
I
Man wähle Basen von V und W , so dass die entsprechende
darstellende Matrix von f besonders einfache Gestalt hat. Zu dieser
Frage werden wir bald eine einfache Antwort finden. Die Anwort wird
gleichzeitig sagen, welche Paare von linearen Abbildungen nach
geeigneten Wahlen von Koordinaten im Bild- und Definitionsraum
identifiziert werden können.
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I
Die zweite Variante der Frage lautet so: Es sei V ein
endlich-dimensionaler reeller Vektorraum und sei f : V → V ein
Endomorphismus. Man wähle eine Basis B von V , so dass die
entsprechende darstellende Matrix MB
B eine besonders einfache
Gestalt hat.
I
Diese Frage ist sehr kompliziert und wird uns noch lange
beschäftigen. In der Sprache der Matrizen kann sie so formuliert
werden: Finde für eine gegebene quadratische Matrix A eine
besonders einfache zu ihr ähnliche Matrix. Finde heraus, welche
quadratischen Matrizen ähnlich sind.
I
Die Wichtigkeit dieser Frage auch für einfache Anwendungen wird
deutlich, wenn man versucht A20 für eine einfache 2 × 2 Matrix A
auszurechnen, z.B. für die Matrix
2 −1
A=
.
−1 2
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Rang und Spaltenrang
Definition
Der Rang rk(f ) einer linearen Abbildung f ist die Dimension des Bildes
von f .
Definition
Der Spaltenrang einer Matrix A ∈ Rm×n ist die Dimension des von den
Spaltenvektoren von A aufgespannten Teilraumes von Rm . Wir bezeichnen
es mit SRang(A).
Nach Definition gilt SRang(A) = rk(fA ). Allgemeiner haben wir:
Proposition
Es sei f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen
Vektorräumen. Es seien Basen B von V und C von W gegeben. Dann gilt
Rang(f ) = SRang(MCB (f )).
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Damit ist der Spaltenrang der darstellenden Matrix eine Invariante der
Abbildung, die von der Wahl der Basen nicht abhängt. Es ist auch die
einzige Invariante, wie der folgende Satz zeigt:
Satz (Normalform linearer Abbildungen)
Es seien V und W endlichdimensionale R-Vektorräume, n = dim V ,
m = dim W , und es sei f : V → W linear. Dann existieren Basen von V
und von W , so dass bezüglich dieser Basen die Abbildung f durch eine
Matrix der Form
Er 0
∈ Rm×n
0 0
dargestellt wird, wobei r = rk(f ).
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Satz (Rangsatz)
Es seien V und W endlich-dimensionale R-Vektorräume und f : V → W
eine lineare Abbildung. Dann gilt
dim ker(f ) + Rang(f ) = dim V .
Folgerung
Für alle A ∈ Rm×n gilt
ZRang(A) = SRang(A) .
Der Zeilenrang und der Spaltenrang einer Matrix stimmen überein.
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Folgerung
Es sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und f : V → V linear
(d.h. f ist ein Endomorphismus von V ). Dann sind äquivalent:
I
f ist ein Automorphismus.
I
ker(f ) = 0.
I
rk(f ) = dim(V ).
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