¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung “Mathematik für Physiker I” WS
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Übungsaufgaben zur Vorlesung
“Mathematik für Physiker I”
WS 2017/18
Blatt 14
Abgabetermin: Montag, den 5. Februar 2018, in der Vorlesung
Aufgabe 1. Eine lineare Abbildung A : R4 → R4 hat Matrix
1 2 3
2
−1 0 3
1
2 1 5 −1
1 1 2
2
bezüglich der kanonischen Basis {e1 , e2 , e3 , e4 } im R4 . Was ist die Matrix der
Abbildung A bezüglich der Basis
a) {e1 , e3 , e2 , e4 }?
b) {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 , e1 + e2 + e3 + e4 }?
Aufgabe 2. Sei V ein Vektorraum über C mit Basis {v1 , v2 , v3 , v4 } und A die
lineare Selbstabbildung von V mit Matrix
1
0
2 −1
0
1
4 −2
2 −1
0
1
2 −1 −1
2
bezüglich der Basis.
a) Finden Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildung A.
b) Zeigen Sie, daß der Unterraum von V aufgespannt von den Vektoren
{2v1 − v2 , −v3 + v4 }, ein invarianter Unterraum von A ist.
Aufgabe 3. Sei Pn der Vektorraum aller Polynome vom Grad ≤ n über C und
A die lineare Selbstabbildung von Pn definiert durch Ap := p0 , wobei p0 (z) die
Ableitung von p(z) ist. Zeigen Sie, daß An+1 = 0 ist, und bestimmen Sie die
Matrix der Abbildung A bezüglich der Basis 1, z, . . . , z n (sie ist also nilpotent).
Aufgabe 4. Sei A eine lineare Abbildung eines Vektorraums V und V habe eine Basis {v1 , . . . , vn } aus Eigenvektoren von A. Was ist die Matrix der
Abbildung A bezüglich dieser Basis?
1
2
Aufgabe 5. Stellen Sie den Raum R3 als direkte Summe von Wurzelunterräumen der linearen Abbildung gegeben durch die Matrix
−8 47 −8
−4 18 −2
−8 39 −5
dar.
Aufgabe 6. Zeigen Sie, daß jede lineare Abbildung A : R3 → R3 mindestens
einen reellen Eigenwert besitzt.
Aufgabe 7. Berechnen Sie A100 , wobei
3
1 −3
9 .
A = −7 −2
−2 −1
4
Aufgabe 8. Sei
a2 + ab + b2
a2
a2 + b 2
a2 + b 2
A=
2
2
2
b
a − ab + b
− 2
2
a +b
a2 + b 2
wobei a und b komplexe Zahlen mit a2 + b2 6= 0 sind.
a) Bestimmen Sie die Jordan’sche Normalform der Matrix A.
b) Finden Sie die entsprechende Basis im C2 .
Aufgabe 9. Beweisen Sie, daß jede Hermitesche (n × n) -Matrix A über C
diagonalisierbar ist, d.h. es gibt eine invertierbare (n × n) -Matrix T derart,
daß A = T −1 DT mit einer Diagonalmatrix D ist.
Viel Spaß und viel Erfolg!
Aufgabe
Punkte
1
2
3 4 5 6 7
8
9
a b a b
a b
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 48
