V × V → K eine alternierende B

Klausur, Lineare Algebra, am 11.7.2008
Alle Lösungen müssen begründet werden!
1) Es sei B : V × V → K eine alternierende Bilinearform auf einem
endlich erzeugten K-Vektorraum. Es sei W ⊂ V ein maximaler isotroper
Unterraum.
Man beweise, dass dim V ≤ 2 dim W .
Erklärungen: Alternierend bedeutet, dass B(v, v) = 0 für alle v ∈ V .
Isotrop bedeutet, dass B(w1 , w2 ) = 0 für alle w1 , w2 ∈ W . Maximal isotrop
bedeutet, dass W in keinem isotropen Unterraum von V echt enthalten ist.
2) Man finde eine orthogonale Basis von R3 bezüglich des Standardsklarprodukts, in der die folgende symmetrische Bilinearform Diagonalgestalt
hat:


41
12
30
34 −40  y
B(x, y) = t x  12
30 −40 −50
(Hinweis: Ein Eigenwert dieser Matrix ist 50)
3) Es seien v1 , w1 , v2 , w2 Vektoren der Länge 1 des euklidischen Vektorraumes R3 . Bezüglich des Standardskalarprodukts gelte
< v1 , w1 > = < v2 , w2 > .
Man beweise, dass es eine Drehung A des Raumes R3 gibt, so dass A(v1 ) = v2
und A(w1 ) = w2 .
4) Man entscheide, ob die folgende Funktion Q : R3 → R negative Werte
annehmen kann:
Q(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 2x1 x2 + 3x22 + 4x1 x3 + 5x23
5) Es sei C der Körper der komplexen Zahlen. Das ist ein Vektorraum
der Dimension 2 über R. Es sei w ∈ C. Die Abbildung f : C → C, so
1
dass f (z) = wz̄, ist eine R-lineare Abbildung. Was ist das charakteristische
Polynom des Endomorphismus f des reellen Vektorraumes C? Hat dieser
Endomorphismus Eigenvektoren und wenn welche?
(Erklärung: z̄ bezeichnet die komplex konjugierte Zahl zu z.)
6) Es sei K ein Körper, dessen Charakteristik von 2 verschieden ist, d.h.
1+1 6= 0. Es sei A ∈ M (n×n, K) eine orthogonale Matrix für die quadratische
Form
(K n , Q(x) = x21 + . . . + x2n ).
Das bedeutet t A · A = 1 oder äquivalent A = t A−1 . Dann gilt det A = ±1.
Es sei n ungerade und det A = +1. Es sei f (t) = det(A − tEn ) das
charakteristische Polynom der Matrix A.
Man beweise, dass
1
f (t) = −tn · f ( ),
t
und dass die Matrix A den Eigenwert 1 besitzt.
7) Man betrachte auf dem R-Vektorraum M (3 × 3, R) die quadratische
Form:
Q(X) = Spur X 2 , X ∈ M (3 × 3, R)
Was ist die Sylvestersche Normalform von Q?
Bewertung: 5 Punkte pro Aufgabe. Die 6 besten Lösungen werden gezählt.
Maximale Gesamtpunktzahl 30. Noten:
ab 15 Punkte 4
ab 18 Punkte 3
ab 22 Punkte 2
ab 26 Punkte 1
2