Modulprüfung Lineare Algebra II - KIT

Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
21. September 2017
Modulprüfung
Lineare Algebra II
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Fachrichtung:
Semester:
Zur Bearbeitung: Verwenden Sie für die Bearbeitung jeder Aufgabe ein neues Blatt, auf welches
Sie die Nummer der Aufgabe sowie Ihren Namen schreiben.
Führen Sie Beweise in allen Einzelheiten aus. Wenn Sie Sätze der Vorlesung anwenden, benennen Sie diese genau. Wo gerechnet werden muss, schreiben Sie nicht nur die Zahlen hin,
sondern erklären und begründen Sie alles, was Sie tun. Hilfsmittel sind nicht erlaubt.
Die Bearbeitungsdauer beträgt 120 Minuten.
Zur Auswertung: Für jede der sechs Aufgaben gibt es maximal 8 Punkte. Sie haben die
Prüfung bestanden, wenn Sie mindestens 17 der 48 möglichen Punkte erreicht haben.
Punkte (Wird von den Prüfern ausgefüllt!)
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
Σ
Note
II.6
Bitte kreuzen Sie hier an,
⇐= welche Aufgaben Sie bearbeitet
haben.
Aufgabe II.1
Es sei A ∈ C5×5 eine Matrix mit höchstens zwei verschiedenen Eigenwerten λ, µ ∈
e ∈ C5×5 ihre Jordansche Normalform. Weiter gelte Rang( A) = 2 und
C, und A
Spur( A) = −2.
(a) Begründen Sie, weshalb λ = 0 ein Eigenwert von A ist.
e
(b) Wieviele Jordankästchen zum Eigenwert λ = 0 besitzt A?
(c) Begründen Sie, weshalb A einen Eigenwert µ 6= 0 hat.
(d) Welche Zahlen können als Dimension des Hauptraums zum Eigenwert µ 6= 0
auftreten?
e von A unter
(e) Bestimmen Sie alle Möglichkeiten für die Jordansche Normalform A
den gegebenen Einschränkungen.
Aufgabe II.2
Auf R3 sei durch

sα : R3 × R3 → R,

1 1 1
( x, y) 7→ x > · 1 2 α · y
1 α 3
eine Bilinearform gegeben, die von einem Parameter α ∈ R abhängt.
(a) Für welche α ∈ R ist sα ein Skalarprodukt?
(b) Bestimmen Sie alle α ∈ R, für die die Vektoren
 
 
2
2



2 
x = −1
und y =
−1
−1
bezüglich sα orthogonal sind.
(c) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von R3 bezüglich s1 .
Aufgabe II.3
Es sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n ≥ 1, und Φ : V → V
ein Endomorphismus mit der Eigenschaft
h Φ ( x ), x i = 0
x ∈ V.
für alle
Zeigen Sie:
(a) Für alle x, y ∈ V gilt hΦ( x ), yi = −h x, Φ(y)i.
(b) Ist U ⊂ V ein Φ-invarianter Untervektorraum, so ist auch U ⊥ Φ-invariant.
(c) Besitzt Φ einen Eigenwert λ ∈ R, so ist Φ nicht invertierbar.
(d) Der Endomorphismus Φ2 : V → V, x 7→ Φ(Φ( x )) ist selbstadjungiert.
(e) Es gibt eine Orthonormalbasis B von V
µ1 , µ2 , . . . , µn , sodass die Abbildungsmatrix
durch

µ1 0 · · ·
...

 0 µ2
. .
 ..
.. ...
0 ··· 0
und nichtpositive reelle Zahlen
von Φ2 bezüglich B gegeben ist

0
.. 
. 
.
0
µn
Aufgabe II.4
Gegeben sei die Matrix
√

6 √1
1
A = − 6
2
6  ∈ R3 × 3 .
√
4
1
− 6 3

3
√
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ : R3 → R3 , x 7→ A · x eine Isometrie des
euklidischen Standardraums (R3 , h·, ·i) ist.
e von A.
(b) Bestimmen Sie die euklidische Normalform A
e gilt.
(c) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S ∈ R3×3 , so dass S> · A · S = A
Aufgabe II.5
Es seien V ein endlich dimensionaler unitärer Vektorraum und Φ ∈ End(V ) ein Endomorphismus, sodass für die zu Φ adjungierte Abbildung Φ∗ gilt:
Φ∗ = 2Φ2 − Φ.
(a) Zeigen Sie, dass Φ∗ ◦ Φ = Φ ◦ Φ∗ gilt.
(b) Welche komplexen Zahlen können als Eigenwerte von Φ auftreten?
(c) Zeigen Sie, dass Φ eine orthogonale Projektion ist.
Hinweis zu (c): Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass V eine Orthonormalbasis aus
Eigenvektoren von Φ besitzt.
Aufgabe II.6
In Abhängigkeit von dem Parameter a ∈ R sei die affine Abbildung φa : R3 → R3
gegeben durch


 
a
0
0
1
φa ( x ) =  0 a − 2 1  x +  2  .
2
0
3
0
(a) Für welche a ∈ R ist φa eine Affinität?
(b) Bestimmen Sie alle Parameter a ∈ R, für die es genau ein x a ∈ R3 gibt mit
φa ( x a ) = x a . Geben Sie für diese Parameter den Punkt x a an.
(c) Für welche a ∈ R ist der lineare Anteil von φa nicht diagonalisierbar?
(d) Bestimmen Sie alle Parameter a ∈ R, für die φa eine Affinität ist und für welche
es genau einen Punkt x a ∈ R3 und genau zwei Geraden ga , h a ⊆ R3 gibt mit
φa ( x a ) = x a ,
φa ( g a ) ⊆ g a
und φa (h a ) ⊆ h a .