Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt

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Dr. Oliver Labs
Carolin Peternell
18.04.2016
1. Übung zur Vorlesung
“Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt”
im Sommersemester 2016
1. Aufgabe: (8 Punkte)
a) Berechnen Sie
 das charakteristische Polynom und die
1 −2 1


Eigenwerte der Matrix 0 1
3  mit Einträgen in R bzw. in C.
0 −1 −2
!
cos α − sin α
b) Welche Eigenwerte hat die Matrix
in R in Abhängigkeit von
sin α cos α
α ∈ R?
Pk
c) Sei M ∈ Rn×n und P = i=0 pi xi ∈ R[x] ein Polynom. Wir definieren P (M ) =
Pk
i
i=0 pi M . Zeigen Sie:
i) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, dann ist P (λ) ein Eigenwert von P (M ).
ii) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, so ist λ2 ein Eigenwert von M 2 .
iii) Gilt in (ii) die Umkehrung?
2. Aufgabe: (8 Punkte)
a) Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix:


2 1 0 −2
1 3 3 −1



.
3 2 4 −3
2
−2
2
3
b) Seien v1 , v2 , w1 , w2 ∈ R. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des von v = ( vv12 ) und
v1 w1
1
w = (w
w2 ) aufgespannten Parallelogramms | det ( v2 w2 ) |. Welche geometrische Bedeutung hat das Vorzeichen der Determinante?
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten
A = ( 12 ) , B = ( 72 ) , C = ( 36 ) .
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