Dr. Oliver Labs Carolin Peternell 18.04.2016 1. Übung zur Vorlesung “Lineare Algebra und Geometrie II für das Lehramt” im Sommersemester 2016 1. Aufgabe: (8 Punkte) a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die 1 −2 1 Eigenwerte der Matrix 0 1 3 mit Einträgen in R bzw. in C. 0 −1 −2 ! cos α − sin α b) Welche Eigenwerte hat die Matrix in R in Abhängigkeit von sin α cos α α ∈ R? Pk c) Sei M ∈ Rn×n und P = i=0 pi xi ∈ R[x] ein Polynom. Wir definieren P (M ) = Pk i i=0 pi M . Zeigen Sie: i) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, dann ist P (λ) ein Eigenwert von P (M ). ii) Wenn λ ein Eigenwert von M ist, so ist λ2 ein Eigenwert von M 2 . iii) Gilt in (ii) die Umkehrung? 2. Aufgabe: (8 Punkte) a) Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix: 2 1 0 −2 1 3 3 −1 . 3 2 4 −3 2 −2 2 3 b) Seien v1 , v2 , w1 , w2 ∈ R. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des von v = ( vv12 ) und v1 w1 1 w = (w w2 ) aufgespannten Parallelogramms | det ( v2 w2 ) |. Welche geometrische Bedeutung hat das Vorzeichen der Determinante? c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A = ( 12 ) , B = ( 72 ) , C = ( 36 ) .