Aufgaben zur Mathe II für Ingenieure SS 13, Serie 5 Prof. Dr. E

Aufgaben zur Mathe II für Ingenieure
Prof. Dr. E. Kuwert
SS 13, Serie 5
10. Mai 2013
Aufgabe 1 (charakteristisches Polynom)
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom einer 2 × 2-Matrix
a b
A=
.
c d
Entscheiden Sie, ob A Eigenwerte λ ∈ R hat, und wenn ja, welche.
Aufgabe 2 (Eigenwerte von Potenzen)
Sei A ∈ Rn×n . Zeigen Sie:
(a) Ist λ Eigenwert von A, so ist λk Eigenwert von Ak für jedes k ∈ N.
(b) Ist A invertierbar und λ Eigenwert von A, so ist λ 6= 0 und 1/λ ist ein Eigenwert
von A−1 .
(c) Ist B ∈ Rn×n ähnlich zu A, so sind Ak , B k ebenfalls ähnlich für jedes k ∈ N.
Hinweis. Ist zum Beispiel A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so lassen sich die
Potenzen Ak mit Teilaufgabe c) leicht ausrechnen.
Aufgabe 3 (Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren)
Finden Sie die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der Matrix


2 −2 −4
A =  −2 5 −2  .
−4 −2 2
Zeigen Sie, dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
Aufgabe 4 (Exponentialabbildung)
k
(1) Berechnen Sie die Potenzen J , k ∈ N0 , der Matrix J =
(2) Berechnen Sie nun die Reihe exp(tJ) =
∞
X
(tJ)k
k=0
k!
0 −1
1 0
.
für t ∈ R.
Hinweis. Die Matrizen in SO(2) sind damit durch schiefsymmetrische Matrizen parametrisiert. Dieser Zusammenhang existiert auch SO(n).
Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes
Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 20.5.2013, vor der Vorlesung.