Lineare Algebra für Physiker

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Wintersemester 2006/07
Lineare Algebra für Physiker
Übungsaufgaben zu Kapitel 6 Polynome und Eigenwerte “
”
1. Aufgabe: Bestimmen Sie den ggT der beiden reellen Polynome
x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 und x6 + x5 − 2x4 − 3x3 − 2x2 + x + 1
und geben Sie eine Vielfachsummendarstellung des ggT an.
¶
1 4
eine Nullstelle des Polynoms f (t) =
2. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Matrix
2 3
t2 − 4t − 5 ist. Hat das Polynom noch andere reelle 2 × 2-Matrizen als Nullstellen. Wenn
ja, welche?
µ
3. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Matrix


8
3
6
T = −4 −1 −4
−5 −3 −3
über R diagonalisierbar ist und geben Sie eine Matrix P an, so dass
P−1 TP
eine Diagonalmatrix ist.
4. Aufgabe: Bestimmen Sie das charakteristische Polynom χT , Eigenwerte und
Eigenvektoren der Matrix


2− i 0
0
−3 1 − i ∈ C(3,3) .
T= i
1
0 2+ i
Berechnen Sie zudem χT (T), d.h. setzen Sie die Matrix in ihr charakteristisches Polynom
ein.
5. Aufgabe: Bestimmen Sie charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren
von


1 −2 1
0 1
3
0 −1 −2
über R und über C. Überprüfen Sie, ob die Matrix eine Nullstelle ihres charakteristischen
Polynoms ist.


1 2 3
6. Aufgabe: Ist 0 2 3 zu einer Diagonalmatrix ähnlich? Falls ja, geben Sie eine
0 0 3
solche an.
¶
a b
eine reelle 2 × 2-Matrix. Geben Sie notwendige und
7. Aufgabe: Sei A =
c d
hinreichende Bedingungen für a, b, c und d an, so dass A diagonalisierbar ist.
µ
8. Aufgabe: Sei N eine komplexe 2 × 2-Matrix mit N2µ= 0.¶Zeigen Sie, dass dann
0 0
ähnlich ist.
entweder N = 0 gilt, oder dass N über C zu einer Matrix
1 0
9. Aufgabe: Zeigen Sie, dass
µ jede
¶ komplexe 2×2-Matrix über C entweder diagonalisierbar
a 0
ist oder zu einer Matrix
ähnlich ist.
1 a
10. Aufgabe: Sei K ein beliebiger Körper und sei A ∈ K(n,n) . Auf dem Vektorraum K(n,n)
sei die lineare Abbildung
T : S 7→ A · S
definiert. Untersuchen Sie, ob A und T dieselben Eigenwerte besitzen?
Weihnachtsknobelei: Man bestimme eine neunstellige
Zahl, in der alle Ziffern 1, . . . , 9 genau einmal vorkommen,
so dass die i-stellige Zahl zi , die aus den ersten i Ziffern (von
links gelesen) besteht, durch i teilbar ist für i = 1, . . . , 9.
Wie viele dieser weihnachtlichen Zahlen“ gibt es?
”
Wir wünschen Ihnen alles Gute für
die Feiertage und das neue Jahr!
Prof. Pott, Achill Schürmann und Martin Raschauer