Technische Universität München Lineare Algebra für Informatik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Lineare Algebra für Informatik
Sommersemester 2012
Boris Springborn — Jan Wehrheim
Übungsblatt 12 - Musterlösung
T1: Diagonalisieren über Z2
Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ ∈ Z2 und Basen der zugehörigen Eigenräume Eλ der Matrix
0 1
A=
∈ (Z2 )2×2 .
1 0
Ist die Matrix A über Z2 diagonalisierbar?
Lösung zu T1:
Es gilt über Z2
−x 1
χA = det
1 −x
= x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)2 .
Damit besitzt A nur den Eigenwert λ = 1 ∈ Z2 mit algebraischer Vielfachheit ma (λ) = 2. Wir
berechnen
−1 1
1 1
1 1
mg (λ) = dim Kern
= dim Kern
= dim Kern
= 1 6= ma (λ)
1 −1
1 1
0 0
1
und damit ist A über Z2 nicht diagonalisierbar. Eine Basis von Eλ ist zum Beispiel
.
1
T2: Ein komplexer Unterraum
+
*    
i
0
1
Wir betrachten den Unterraum U := 1 ,  0  , 1 + i ⊂ C3 .
−i
1+i
0
a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von U .
b) Ergänzen Sie die gewählte Basis von U zu einer Basis des ganzen C3 .

√
√3 + i
c) Entscheiden Sie: Liegt der Vektor v :=  3 + i in U ?
0
Lösung zu T2:
a) Es ist zum Beispiel
*1  i   0 + *1  1  0+ *1  1 +
U = 1 ,  0  , 1 + i = 1 ,  0  , 1 = 1 ,  0 
0
−i
1+i
0
−1
1
0
−1
und diese letzten beiden Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis von U . Damit
ist dim(U ) = 2.
b) Es genügt, einen dritten Vektor zu der obigen Basis hinzuzufügen,
  so dass diese drei Vektoren
1
linear unabhängig sind. Dies erfüllt zum Beispiel der Vektor 0.
0
 
 
1
1
√
c) Es gilt v = ( 3 + i) · 1 und damit ist v ∈ U , da 1 in U liegt.
0
0
T3: Summe und Produkt der Eigenwerte
Es sei A = (aij ) ∈ Cn×n und λ1 , . . . , λn ∈ C seien die n Nullstellen des charakteristischen Polynoms
von A. Dann gilt
λ1 · λ2 · . . . · λn = det(A)
und
λ1 + λ2 + . . . + λn = a11 + a22 + . . . + ann .
Diese Summe über die Diagonaleinträge von A nennt man die Spur von A.

0
a) Überzeugen Sie sich von diesen Tatsachen anhand der Matrix A = 1
0
0
0
1

1
0.
0
b) Können Sie diese Aussagen beweisen?
Lösung zu T3:
a) Die Eigenwerte von A haben wir in Aufgabe T3 von Blatt 11 berechnet. Es sind die dritten
Einheitswuzeln 1, e, e2 mit
√
√
3
1
3
2π
1
1
2π
+ i · sin
=− +
· i und e2 = = e = − −
· i.
e = cos
3
3
2
2
e
2
2
Tatsächlich gilt
1 · e · e2 = e3 = 1 = det(A)
und
√
√
3
1
3
1
·i− −
· i = 0 = 0 + 0 + 0 = Spur(A).
1+e+e =1− +
2
2
2
2
2
b) Ja, aber das geht über die Zielsetzung der Vorlesung hinaus und deshalb müssen wir es nicht
unbedingt...
Algebraischer Beweis: Es ist


a11 − x
a12
...
a1n
 a12
a22 − x . . .
a2n 


χA = det(A − xEn ) = det  .
.
..
.
.
.
.
.

 .
.
.
.
an1
an2
. . . ann − x
Wir können diese Determinante im Prinzip nach der Leibniz-Formel berechnen und erhalten
ein Polynom der Form
c0 + c1 x + . . . + cn−1 xn−1 + cn xn
dessen Koeffizienten cj mehr oder weniger komplizierte Ausdrücke in den aij sind. Von besonderem Interesse sind die Koeffizienten c0 und cn−1 , denn diese lassen sich leicht berechnen. Es
gilt
c0 = det(A) und cn−1 = (−1)n−1 (a11 + a22 + . . . ann ) = (−1)n−1 · Spur(A).
Wenn aber die λj die Nullstellen von χA sind, dann gilt andererseits auch
χA = (λ1 − x)(λ2 − x) . . . (λn − x) = c0 + c1 x + . . . + cn−1 xn−1 + cn xn .
Und aus dieser Gleichung erhalten wir Darstellungen der Koeffizienten cj durch die Eigenwerte
λj . Es gilt offensichtlich
c0 =
n
Y
j=1
λj
und cn−1 = (−1)n−1 ·
n
X
λj
j=1
und daraus folgen die angegebenen Formeln für Summe und Produkt der Eigenwerte.
Geometrischer Beweis: Man überlegt sich leicht, dass die Formeln für Diagonalmatrizen und
sogar für obere Dreiecksmatrizen gelten, insbesondere also für Matrizen in Jordan-Normalform.
Ferner sind Eigenwerte, Spur und Determinante von Matrizen invariant unter Basiswechseln,
also Transformationen der Form A 7→ S −1 AS. Die Formeln gelten also für jede Matrix, da jede
Matrix über C auf Jordan-Normalform transformiert werden kann.