Lineare Algebra II und Geometrie

Lineare Algebra II und Geometrie
LVA 405.120
C. Fuchs
Folgerungen aus dem Spektralsatz
05.06.2014
4.3.8 Jede normale Abbildung deren charakteristisches Polynom in Linearfaktor zerfällt ist also
diagonalisierbar. Die Diagonalisierbarkeit einer ω-normalen Matrix folgt aus dem Zerfallen des
charakteristischen Polynomes. Diese Basis lässt sich leicht bestimmten, indem man zunächst
irgendeine Basis aus Eigenvektoren berechnet und die Eigenvektoren zu gleichen Eigenwerten
mit Hilfe von 4.3.4 orthogonalisiert.
4.3.9 Sei nun V ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum. Dann folgt unmittelbar aus dem
Spektralsatz:
a) ϕ ∈ End(V ) ist normal genau dann, wenn ϕ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
besitzt. A ∈ Mn (C) ist genau dann konjugiert-normal, falls sie unitär-ähnlich einer Diagonalmatrix ist.
b) ϕ ∈ End(V ) ist genau dann hermitesch bzw. schiefhermitesch bzw. unitär, falls es eine
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und nur reellen bzw. nur rein imaginären Eigenwerten
bzw. nur Eigenwerten mit Absolutbetrag 1 besitzt. A ∈ Mn (C) ist genau dann hermitesch bzw.
schiefhermitesch bzw. unitär, falls sie unitär-ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, die aus reellen
bzw. rein-imaginären Elementen bzw. Diagonalelementen mit Absolutbetrag 1 besteht.
4.3.10 Sei V jetzt ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann folgt aus dem Spektralsatz:
a) ϕ ∈ End(V ) ist symmetrisch genau dann, wenn ϕ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
besitzt. Eine Matrix A ∈ Mn (R) ist genau dann symmetrisch, falls sie orthogonal-ähnlich zu
einer Diagonalmatrix ist.
b) ϕ ∈ End(V ) ist normal genau dann, wenn die Koordinatenmatrix von ϕ bzgl. einer Orthonormalbasis von V , welche nur aus reellen Diagonalelementen und Matrizen der Form
x −y
∈ M2 (R)
J2 (z, z) =
y x
für Paare konjugiert komplexer Zahlen z = x + iy, z = x − iy aufgebaut ist. Sie ist schiefsymmetrisch, falls alle Diagonalelemente dieser Blockdiagonalmatrix 0 sind und orthogonal, falls
alle reellen Diagonalelemente ±1 und auftretenden komplexen Zahlen |z| = 1 haben; somit ist
cos α − sin α
J2 (z, z) =
∈ M2 (R)
sin α cos α
mit 0 ≤ α < 2π. Die letzten beiden Aussagen kann man entsprechend auch auf Matrizen
übertragen. Ausserdem erhalten wir auch die Klassifikation von allen Drehungen (das sind die
Elemente von SO(n)) für n = 2 und n = 3: in der Ebene haben sie die Gestalt der obigen
Matrix und für n = 3 gibt es einen Fixvektor (das ist der Satz von Euler-d’Alembert), da 1
einer der Eigenwerte sein muss, um den eine Drehung in der Ebene erfolgt.
Beweis. Es genügt die Aussage für A ∈ Mn (R) zu zeigen. Beachte, dass wir A auch als komplexe Matrix auffassen und dann 4.3.7 anwenden können. Sei z = x + iy ∈ C ein Eigenwert
zum Eigenvektor v ∈ Cn , so ist wegen Av = Av = zv = zv der Vektor v ein Eigenvektor von
1
A zum Eigenwert z = x − iy. Setzen wir v1 = 12 (v + v), v2 = 2i1 (v − v), so ist v1 , v2 ∈ Rn und
Av1 = xv1 + yv2 , Av2 = xv2 − yv1 . Somit folgen die Aussagen aus dem Spektralsatz.
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