Übungsblatt 10

Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Mathematik und Rechneranwendung
Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner
18. Dezember 2012
Übungsblatt 10
1. Diagonalisieren reeller Matrizen
Sei A ∈ Rn×n ; dann gilt die folgende Aussage:
A ist symmetrisch.
Zu A existiert eine diagonalisierende Orthonormalbasis
U = {u1 , . . . , un } des Rn aus Eigenvektoren von A, d. h.


λ1
0


..
∃ U ∈ orth Rn×n : D = U T A U = 
.
.
0
λn
⇐⇒
λ1 , . . . , λn ∈ R sind dabei die zu u1 , . . . , un gehörigen Eigenwerte.
Der obige Satz is äquivalent zum folgenden Spektralsatz für den euklidischen Vektorraum (Rn , h· , ·iRn ).
Spektralsatz: Sei A ∈ Symm (Rn×n ) . Weiterhin seien λ1 , . . . , λs ∈ R die verschiedenen Eigenwerte von A. Für λ ∈ Spec (A) := {λ ∈ R : λ ist Eigenwert von A} sei Eλ = {x ∈ Rn : A x = λ x}
der Eigenraum zu λ. Dann gilt
s
M
Rn =
Eλi
(1)
i=1
und die Eigenräume sind paarweise orthogonal zueinander.
Äquivalente Projektionsversion des Spektralsatzes: Sei Pλi : Rn → Eλi die orthogonale Projektion auf Eλi ( bezüglich h· , ·iRn ), dann besitzt A die eindeutige Spektralzerlegung
A =
s
X
λ i Pλ i .
(2)
i=1
(a) Zeigen Sie, dass die Zerlegungsversion (1) äquivalent zur Projektionsversion (2) ist. D.h.
Rn =
s
M
Eλi ⇔ A =
i=1

(b) Bestimmen Sie zu
2
A= 1
0
2. Zerlegungssatz für Rn
1
2
1

0
1 
2
Zu der Matrix

s
X
λi Pλi .
i=1
eine diagonalisierende Orthonormalbasis.
0
A =  −1
−1

0 1
1 1 
1 1
prüfen Sie die Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie jeweils eine Basis aus Hauptvektoren von R3 .
n×n
Zerlegungssatz für Rn : Seien λ1 , . . . , λs ∈ C diePverschiedenen Eigenwerte von
LsA ∈ R
s
n
und k1, . . . , ks ihre algebraischen Vielfachheiten, d.h. i=1 ki = n. Dann gilt R ⊂ i=1 N (A −
Ps
λi I)ki . D. h. für jeden Vektor
v ∈ Rn existiert eine eindeutig bestimmte Zerlegung v = i=1 vi ,
wobei vi ∈ N (A − λi I)ki ein Hauptvektor
zum Eigenwert λi ist. Falls alle Eigenwerte von A reel
Ls
sind, so gilt Rn = i=1 N (A − λi I)ki .
3. Zerlegungssatz für Cn
Wir betrachten die Matrix

0
 1
A=
 0
0

0 0
0 0 
 ∈ C4 .
1 0 
1 1
−1
0
0
0
(a) Ist A diagonalisierbar?
(b) Bestimmen Sie eine zu A gehörige Basis aus Hauptvektoren von C4 .
(c) Zerlegen Sie den Vektor b = (1, 1, 1, 1)T ∈ C4 in Hauptvektoren.
Zusatzaufgaben
1. Sei A ∈ Cn×n . Zeigen Sie:
0 ist ein Eigenwert von A ⇔ A ist singulär.
2. Sei A ∈ Cn×n inventierbar. Zeigen Sie:
wert von A− 1.
λ ist ein Eigenwert von A ⇔ λ−1 ist ein Eigen-
3. Beweisen sie die folgende Implikation.
A ∈ Rn×n ; n ≤ 3 ; A ist nicht diagonalisierbar.
=⇒
A besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte.