1 Defintionen 2 Neumann Eigenwerte

Eigenwerte von Teilgraphen unter Randwertbedingungen
Philipp Korn
1 Dentionen
Denition 1.1: Seien G = (V, E) und
S = (V ´, E ´) zwei Graphen. Dann heiÿt S ein Teilgraph von G,
falls gilt: V ´ ⊆ V und E ´ ⊆ E.
Denition 1.2: Seien G = (V, E) ein Graph und S = (V ´, E ´) ein Teilgraph von G. Dann heiÿt S ein
induzierter Teilgraph von G, falls ∀{u, v} ∈ E mit u, v ∈ V ´ gilt: {u, v} ∈ E ´.
Denition 1.3: Menge der Randkanten: ∂S := {{u, v} ∈ E | u ∈ S und v ∈/ S}.
Denition 1.4: Menge der Randknoten: δS := {v ∈/ S | {u, v} ∈ S und u ∈ S}.
2 Neumann Eigenwerte
Denition 2.1: Eine Funktion
δS :
P
f : S ∪ δS → R erfüllt die
(f (x) − f (y)) = 0 gilt.
Neumann-Randwertbedingung, falls
∀s ∈
y∈S,y∼x
Denition 2.2 Seien S ⊆ V (G) ein induzierter Teilgraph und S := S ∪∂S . Dann deniert λs den Neumann
Eigenwert des induzierten Teilgraphen S mit:
(f (x) − f (y))2
P
λS
=
{u,v}∈S
inf
P
f 6=0
P
f 2 (x)dx
x∈S
f (x)dx =0
v∈S
allgemein:
P
λS,i := inf sup
f 6=0 f ∈Ci−1
(f (x) − f (y))2
{x,y}∈S
P
(f (x) − f (x))2 dx
x∈S
mit dx = Grad von x in G (⇒ unabhängig von S) und Ck ist Unterraum der Funktionen φj mit Eigenwerten λS,j für 0 ≤ j ≤ k.
es gilt: λS,0 = 0 und λS,1 = λ1 .
Lemma 2.3: sei f eine Funktion mit f : S ∪ δS → R. f erfülle die Bedingung aus Denition 2.2 und λ sei
der zugehörige Eigenwert. Dann gilt für f:
(a)
X
(f (x) − f (y)) = λf (x)dx
Lf (x) =
y
{x,y}∈S
(b) für x ∈ δS gilt:
(f (x) − f (y)) = 0.
P
y
{x,y}∈δS
das ist äquivalent zu f (x) =
1
d,x
P
y
f (y) mit d,x := Anzahl an Nachbarn von x in S.
{x,y}∈δS
(c) sei h eine Funktion mit h : S ∪ δS → R. dann gilt:
X
x∈S
h(x)Lf (x) =
X
(h(x) − h(y)(f (x) − f (y))
{x,y}∈S
1
Eigenwerte von Teilgraphen unter Randwertbedingungen
Philipp Korn
Mithilfe von Lemma 2.2 und Deniton 2.1 lässt sich λS auch wie folgt darstellen:
λS
=
inf
g⊥T
1
2
1
hg, LgiS
hg, giS
wobei L der Laplace- Operator für den Graphen G und hf1 , f2 iS =
f1 (x)f2 (x) das Skalarprodukt
x∈S
eingeschränkt auf S.
Denition 2.5:
P



1




0
N (x, y) :=
1



dx



0
falls x = y
falls x ∈ S und x 6= y
falls x ∈ δS, y ∈ S und
sonst
N T LS∪δS N T − ∈ R|S|×|S| .
x:y
Denition 2.6: NS := T −
Satz 2.7: Sei G ein Graph und S ein induzierter Teilgraph von G. Sei
1
2
1
2
NS wie in Deniton 2.6 deniert.
Dann gilt: die Neumann- Eigenwerte λS,i von S sind genau die Eigenwerte von NS .
3 Neumann Random Walk
Sei S ein induzierter Teilgraph eines Graphen G. Man betrachte die folgende Irrfahrt/Random walk für einen
Knoten v ∈ S auf dem Teilgraphen S:
v→u
1
dv
v→u
1
dv ∗du
falls u ∈ S und u ist Nachbar von v
falls u ∈
/ S und u ist Nachbar von u in S
Diese Irrfahrt wird als Neumann Randomwalk bezeichnet.
Für die Übergangsmatrix gilt:
f P (v) =
X 1
f (u) +
du
u∈S
u∼v
P (v, u) :=


0




1



v
 dP


z∈δS
1
f (u)
du dz
u∈S,z ∈S
/
X
u∼z∼u
sonst
u 6= v, u, v ∈ S und u ∼ v, @z ∈ δS mit v ∼ z ∼ u
1
dv dz

P 1




dv dz



z∈δS P


 d1v +
z∈δS
u = v, v ∼ z, z ∈ δS
u 6= v, v ∼ z ∼ u, z ∈ δS, v u
1
dv dz
u 6= v, v ∼ z ∼ u, v ∼ u, z ∈ δS
Bemerkung 3.1: sei v ∈ V. Dann gilt π =
dv
P
du
ist die stationäre Verteilung im Knoten v.
u
Satz 3.2: Sei S ein induzierter Teilgraph von G. Sei P die Übergangsmatrix für einen Neumann Randomwalk
auf S. Dann gilt für die Eigenwerte pi von P:
2
Eigenwerte von Teilgraphen unter Randwertbedingungen
Philipp Korn
pi
=
1 − λS,i
p
=
1 − λS
wobei λS,i die Neumann Eigenwerte von S sind.
4 Dirichlet Eigenwerte
grundlegende Annahme: δS 6= ∅.
Denition 4.1: Sei f : S ∪ δS → R. Dann erfüllt f die Dirichlet Randbedingung, falls
f (x) = 0 , ∀x ∈ δS
man schreibt dann f ∈ D∗ .
Denition 4.2: Sei S ein induzierter Teilgraph. Dann deniert λ(D)
den Dirichlet Eigenwert von S mit:
1
(f (x) − f (y))2
P
(D)
λ1
:= inf
{x,y}∈S
P
f 6=0
f ∈D ∗
f 2 (x)dx
x∈S
allgemein:
P
(D)
λi
(f (x) − f (y))2
{x,y}∈S
:= inf sup
P
( f (x) − f (y))2 dx
f 6=0
f ∈Ci−1
x∈S
Bemerkung 4.3: es gilt:
(D)
λ1
hg, Lgi
hg, gi
∗
= inf
g6=0
g∈D
Bemerkung 4.4: Sei S ein zusammenhängender induzierter Teilgraph von G mit ∂S 6= ∅. Dann gilt:
|∂S|
(i) 0 < λ(D)
≤ vol
1
S ≤1
(D)
(ii) 0 < λi ≤ 2 für 1 ≤ i ≤ |S|
Lemma 4.5: Sei S ein induzierter Teilgraph. Sei g eine Eigenfunktion von L mit Dirichlet Eigenwert λ.
Dann gilt für g:
(1) für x ∈ S :
1 X g(x)
g(y)
Lg(x) = √
( √ − p ) = λg(x)
dx y
dx
dy
{x,y}∈S
(2) für eine beliebige Funktion h : V → R gilt:
X
x∈S
h(x)Lg(x) =
X
{x,y}∈S
h(x)
h(y) g(x)
g(y)
( √ − p )( √ − p )
dx
dx
dy
dy
3
Eigenwerte von Teilgraphen unter Randwertbedingungen
Folgerung 4.6: Für eine Funktion f
Philipp Korn
: S → R mit f (x) = 0 ∀x ∈ δS gilt:
Lf (x) = LS f (x) ∀x ∈ S
Satz 4.7: Sei S ein induzierter Teilgraph mit δS 6= ∅. Dann gilt: Die Dirichlet Eigenwerte von S sind genau
die Eigenwert von LS .
Bemerkung 4.8: Für die Determinante von LS gilt:
det LS =
|S|
Q
i=1
(D)
λi
.
5 eine verallgemeinerte Version des Satzes von Kirchho
sei S ein induzierter Teilgraph von G mit ∂S 6= ∅.
Denition 5.1: Ein Teilgraph G∗ von G ist azyklisch, falls G∗ keinen Zyklus enthält.
Denition 5.2: Ein zusammenhängender Teilgraph heiÿt Zusammenhangskomponente.
Denition 5.3: Sei F ein Teilgraph von G. F heiÿt ein verwurzelter Spannwald (engl.: rooted spanning
forest) von S, falls
(1) F ist azyklisch
(2) Die Knotenmenge V (F ) = S ∪ δS ist.
(3) Jede Zusammenhangskomponente von F enthält genau einen Knoten in δS.
Satz 5.4: Die Anzahl von verwurzelten Spannwäldern (engl.: rooted spanning forests) in S ist gleich:
Y
x∈S
dx
|S|
Y
λi
i=1
wobei λi , 1 ≤ i ≤ |S|, die Dirichlet Eigenwerte von L in S sind.
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