Mathematik für Physiker 2

Wend Werner
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Thomas Timmermann
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Mathematik für Physiker 2
Übungsblatt 9, Abgabe bis 30. Juni 12 Uhr
Präsenzaufgabe 1. (Eigenwerte, Eigenräume und lineares DGL-Systeme 1. Ordnung)
Bestimmen Sie für die Matrix


11 −18 9
A =  6 −10 6
0
0
2
(a) das charakteristische Polynom,
(b) die Eigenwerte,
(c) die Eigenräume,
(d) die allgemeine Lösung der linearen DGL y 0 (t) = Ay(t) .
Aufgabe 2.
(Explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen)
Die Folge (an )n der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch
a0= 0, a1 = 1 und
an+1
an+2 = an+1 + an für alle n ≥ 0. Für jedes n ≥ 0 sei ~v(n+1) =
. Bestimmen Sie
an
(a) eine Matrix A, die ~v(n+1) = A~v(n) = An~v(1) für alle n ≥ 0 erfüllt;
(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;
(c) Zahlen λ1 , λ2 , c1 , c2 ∈ C so, dass an = c1 λn1 + c2 λn2 für alle n ∈ N gilt.
(Hinweis: Sie können A mit Hilfe von (b) diagonalisieren, aber es geht einfacher.)
Aufgabe 3.
(Polynomieller Spektralabbildungssatz)
Sei A ∈ Md (C) und seien an−1 , . . . , a0 ∈ C. Setzen wir A in das Polynom
p(X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X 1 + a0
ein, so erhalten wir p(A) := An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 Ed . Zeigen Sie:
(a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist p(λ) ein Eigenwert von p(A).
(b) Ist λ0 ein Eigenwert von p(A), so gibt es einen Eigenwert λ von A mit λ0 = p(λ).
(Hinweis: Schreiben Sie p(X) − λ0 = (X − λ1 ) · · · (X − λn ) mit λ1 , . . . , λn ∈ C und
nutzen Sie, dass dann p(λk ) = λ0 .)
(c*) Ist A diagonalisierbar, so auch p(A), und in dem Fall gilt insbesondere χA (A) = 0.
Dabei bezeichnet χA das charakteristische Polynom von A.
(Bemerkung: Der Satz von Cayley-Hamilton sagt, dass χA (A) = 0 auch für nicht diagonalisierbare Matrizen A gilt. Für die richtige Bearbeitung von (c*) gibt es 2 Zusatzpunkte.)
Bitte wenden!
1
Wend Werner
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Aufgabe 4.
Thomas Timmermann
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(Ein Doppelpendel)
Die Bewegung zweier gleichartiger, elastisch miteinander gekoppelter Pendel wird durch
das DGL-System
 
 0 
y1
0
1
0
0
y1


y20  −α − β 0
β
0 y2 

 =
y30   0
0
0
1 y3 
y4
β
0 −α − β 0
y40
beschrieben, wobei α, β positive Konstanten, y1 , y3 die Auslenkungen der Pendel und
y2 , y4 deren Winkelgeschwindigkeiten sind.
(a) Zeigen Sie, dass für u± := y1 ±y3 und v± := y2 ±y4 die “entkoppelten” Gleichungen
0 0 u+
0 1
u+
u−
0
1
u−
=
und
=
0
0
v+
−α 0
v+
v−
−α − 2β 0
v−
gelten.
(b) Zeigen Sie, dass die allgemeinen reell-wertigen Lösungen u+ , u− der Gleichungen
aus (a) die Form
√
√
mit A1 , A2 ∈ R,
u+ (t) = A1 sin( αt) + A2 cos( αt)
p
p
u− (t) = B1 sin( α + 2βt) + B2 cos( α + 2βt)
mit B1 , B2 ∈ R
haben.
(Bemerkung: Man erhält dann aus y1 = 12 (u+ + u− ) und y2 = 12 (u+ − u− ) die allgemeine Lösung
des ursprünglichen Systems.)
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