Institut für Theoretische Physik PD Dr. Michael Seidl Wintersemester 2013/14 28.11.13 Mathematische Methoden der Physik Übungsblatt 7 Die Aufgaben 1 bis 4 sind schriftliche Hausaufgaben. Abgabe: Donnerstag, 5.12., bis 10.00 Uhr (per Einwurf in die Kästen bei der Bibliothek). Aufgabe 1: Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift x1 · x2 y1 x1 = 7→ y ≡ x ≡ x1 − x2 y2 x2 eine nicht-lineare Abbildung  : R2 → R2 , x 7→ y = Âx erklärt wird. Hinweis: Es genügt, einen Vektor x ∈ R2 zu finden, mit Â(µx) 6= µÂx (wobei µ ∈ R) oder zwei Vektoren v, w ∈ R2 mit Â(v + w) 6= Âv + Âw. Aufgabe 2: Determinanten Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen 3 2 12 5 2 1 6 4 A= 2 0 2 −3 , 2 2 7 4 B= 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 , indem Sie diese jeweils auf Zeilenstufenform bringen. Sie können dabei u.a. die Linearität der Determinante in jeder ihrer Zeilen ausnutzen: Multipliziert man eine Zeile mit µ ∈ R, so ver-µ-facht sich der Wert der Determinante. Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom PA (λ) der Matrix 9 3 . A= 2 4 (b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ von A, also die Nullstellen von PA (λ). 20 (c) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert λ je einen Eigenvektor a x= b durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (A − λI)x = 0. Machen Sie jeweils die Probe, Ax = λx. Aufgabe 4: Lineare Kette (vgl. Aufgabe 5) Eine lineare Kette aus vier Massen und drei Federn führt auf das Eigenwert-Problem −1 1 0 0 1 −2 1 0 . Ax = λx, A= 0 1 −2 1 0 0 1 −1 (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom PA (λ). Hinweis: Wenden Sie dazu den Laplaceschen Entwicklungssatz auf die erste Zeile der Matrix A − λI an. (b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ = −ω 2 von A. Hinweis: Eine Nullstelle von PA (λ) ist λ = −2. (c) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert λ je einen Eigenvektor a b x= c d durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (A − λI)x = 0. Probe! Aufgabe 5: Eigenschwingungen Drei Punktmassen (je mit Masse m) auf einer Geraden seien durch zwei Schraubenfedern (je mit Federkonstante k) verbunden. Während einer longitudinalen Schwingung dieses 3-atomigen “Moleküls” seien u1 (t), u2 (t) und u3 (t) die momentanen Auslenkungen der 3 “Atome” aus ihren jeweiligen Gleichgewichtslagen zur Zeit t. (a) Leiten Sie folgende Bewegungsgleichungen her: h i m ü1 (t) = k u2 (t) − u1 (t) , h i m ü2 (t) = k u1 (t) − 2u2(t) + u3 (t) , h i m ü3 (t) = k u2 (t) − u3 (t) . 21 (b) Bringen Sie diese Gleichungen auf die Form ü(t) = k Au(t), m mit dem zeitabhängigen Spaltenvektor u1 (t) u(t) = u2 (t) ⇒ u3 (t) ü1 (t) ü(t) = ü2 (t) ü3 (t) und einer (3 × 3)-Matrix A. (c) Gewinnen Sie mit dem Ansatz x1 x1 cos(ωt) u(t) = x cos(ωt) ≡ x2 cos(ωt) ≡ x2 cos(ωt) x3 x3 cos(ωt) die Eigenwert-Gleichung für Amplitudenvektor x und Eigenfrequenz ω, r ω 2 k ω0 = Ax = λx, λ=− ω0 m Aufgabe 6: Vandermonde-Determinante (a) Gegeben seien n Zahlen x1 , ..., xn ∈ K. Zeigen Sie, daß gilt 1 1 ... 1 j−1 n n Y x1 Y Y x2 . . . xn det .. (xj − xi ). (xj − xi ) ≡ .. .. = . . . j>i j=2 i=1 x1n−1 x2n−1 . . . xnn−1 (b) Man zeige: Der Satz {eα1 t , ..., eαn t } aus n komplexwerigen Funktionen der reellen Variable t ist genau dann linear unabhängig, wenn die n Zahlen α1 , ..., αm ∈ C paarweise verschieden sind. Hinweis: Gewinnen Sie durch (n − 1)-maliges Differenzieren der Nulldarstellung n X µi eαi t = 0 i=1 ein LGS, und betrachten Sie dessen Determinante. Aufgabe 7: Parallelepiped Interpretieren Sie die Determinanten von (2 × 2)- und (3 × 3)-Matrizen als Flächeninhalte von Parallelogrammen bzw. als Volumina von Parallelepipeden. 22