Mathematische Methoden der Physik ¨Ubungsblatt 7

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Institut für Theoretische Physik
PD Dr. Michael Seidl
Wintersemester 2013/14
28.11.13
Mathematische Methoden der Physik
Übungsblatt 7
Die Aufgaben 1 bis 4 sind schriftliche Hausaufgaben.
Abgabe: Donnerstag, 5.12., bis 10.00 Uhr (per Einwurf in die Kästen bei der Bibliothek).
Aufgabe 1:
Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift
x1 · x2
y1
x1
=
7→ y ≡
x ≡
x1 − x2
y2
x2
eine nicht-lineare Abbildung  : R2 → R2 , x 7→ y = Âx erklärt wird.
Hinweis: Es genügt, einen Vektor x ∈ R2 zu finden, mit Â(µx) 6= µÂx (wobei µ ∈ R)
oder zwei Vektoren v, w ∈ R2 mit Â(v + w) 6= Âv + Âw.
Aufgabe 2: Determinanten
Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen


3 2 12
5
 2 1 6
4 

A=
 2 0 2 −3  ,
2 2 7
4



B=


0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0



,


indem Sie diese jeweils auf Zeilenstufenform bringen.
Sie können dabei u.a. die Linearität der Determinante in jeder ihrer Zeilen ausnutzen:
Multipliziert man eine Zeile mit µ ∈ R, so ver-µ-facht sich der Wert der Determinante.
Aufgabe 3: Eigenwerte und Eigenvektoren
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom PA (λ) der Matrix
9 3
.
A=
2 4
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ von A, also die Nullstellen von PA (λ).
20
(c) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert λ je einen Eigenvektor
a
x=
b
durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (A − λI)x = 0.
Machen Sie jeweils die Probe, Ax = λx.
Aufgabe 4: Lineare Kette (vgl. Aufgabe 5)
Eine lineare Kette aus vier Massen und drei Federn führt auf das Eigenwert-Problem


−1
1
0
0
 1 −2
1
0 
.
Ax = λx,
A=
 0
1 −2
1 
0
0
1 −1
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom PA (λ). Hinweis: Wenden Sie dazu den
Laplaceschen Entwicklungssatz auf die erste Zeile der Matrix A − λI an.
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte λ = −ω 2 von A.
Hinweis: Eine Nullstelle von PA (λ) ist λ = −2.
(c) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert λ je einen Eigenvektor
 
a
 b 

x=
 c 
d
durch Lösen des homogenen Gleichungssystems (A − λI)x = 0. Probe!
Aufgabe 5: Eigenschwingungen
Drei Punktmassen (je mit Masse m) auf einer Geraden seien durch zwei Schraubenfedern
(je mit Federkonstante k) verbunden. Während einer longitudinalen Schwingung dieses
3-atomigen “Moleküls” seien u1 (t), u2 (t) und u3 (t) die momentanen Auslenkungen der 3
“Atome” aus ihren jeweiligen Gleichgewichtslagen zur Zeit t.
(a) Leiten Sie folgende Bewegungsgleichungen her:
h
i
m ü1 (t) = k u2 (t) − u1 (t) ,
h
i
m ü2 (t) = k u1 (t) − 2u2(t) + u3 (t) ,
h
i
m ü3 (t) = k u2 (t) − u3 (t) .
21
(b) Bringen Sie diese Gleichungen auf die Form
ü(t) =
k
Au(t),
m
mit dem zeitabhängigen Spaltenvektor


u1 (t)
u(t) =  u2 (t) 
⇒
u3 (t)


ü1 (t)
ü(t) =  ü2 (t) 
ü3 (t)
und einer (3 × 3)-Matrix A.
(c) Gewinnen Sie mit dem Ansatz




x1
x1 cos(ωt)
u(t) = x cos(ωt) ≡  x2  cos(ωt) ≡  x2 cos(ωt) 
x3
x3 cos(ωt)
die Eigenwert-Gleichung für Amplitudenvektor x und Eigenfrequenz ω,
r ω 2 k
ω0 =
Ax = λx,
λ=−
ω0
m
Aufgabe 6: Vandermonde-Determinante
(a) Gegeben seien n Zahlen x1 , ..., xn ∈ K. Zeigen Sie, daß gilt


1
1
...
1
j−1
n
n Y
 x1
Y
Y
x2 . . . xn 


det  ..
(xj − xi ).
(xj − xi ) ≡
..
..  =
 .
.
. 
j>i
j=2 i=1
x1n−1 x2n−1 . . . xnn−1
(b) Man zeige: Der Satz {eα1 t , ..., eαn t } aus n komplexwerigen Funktionen der reellen
Variable t ist genau dann linear unabhängig, wenn die n Zahlen α1 , ..., αm ∈ C
paarweise verschieden sind.
Hinweis: Gewinnen Sie durch (n − 1)-maliges Differenzieren der Nulldarstellung
n
X
µi eαi t = 0
i=1
ein LGS, und betrachten Sie dessen Determinante.
Aufgabe 7: Parallelepiped
Interpretieren Sie die Determinanten von (2 × 2)- und (3 × 3)-Matrizen als Flächeninhalte
von Parallelogrammen bzw. als Volumina von Parallelepipeden.
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