A Lineare Algebra II - TU Darmstadt/Mathematik
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A Lineare Algebra II für Physiker Technische Universität Darmstadt Fachbereich Mathematik SoSe 05 Prof. Dr. M. Joswig Birgit Petri 2./3.6. 2005 5. Übungsblatt Gruppenübungen G1 Bestimme für die folgenden Matrizen die (algebraische und) geometrische Vielfachheit der Eigenwerte und entscheide jeweils, ob sie diagonalisierbar sind. 1 1 2 −1 1 2 i 1 . A = 0 −1 1 , B = 0 1 0 , C = −1 2 + i 0 0 1 0 0 1 Welche dieser Matrizen sind ähnlich? G2 a) Im R3 sei eine Ebene E durch den Nullpunkt gegeben. Gib die Eigenwerte und Eigenräume der folgenden Abbildungen an: - orthogonale Projektion auf E, - Spiegelung an E, - Drehung um den Winkel γ um den Normalenvektor von E. b) Sei ϕ : R3 → R3 linear mit det ϕ 6= 0. Zeige: Es gibt eine Gerade durch 0, die durch ϕ bijektiv auf sich selbst abgebildet wird. G3 Bestimme Eigenwerte und Basen der Eigenräume der folgenden Matrix a 2 −1 1 . Ma = 2 a − 1 2 −1 3 + a Hinweis: Kann man von Aussagen über M auf solche über M + aE schließen? G4 a) Entscheide, ob für A ∈ Kn×n die Matrizen A und AT die gleichen Eigenwerte und Eigenvektoren haben. b) Zeige: Ähnliche Matrizen haben gleiche Determinante, gleiche Spur und gleiches charakteristisches Polynom. Hausübungen H1 Sei A ∈ Cn×n und λ ein Eigenwert von A mit geometrischer Vielfachheit t. D ∗ a) Zeige: A ist ähnlich zu einer Matrix B der Gestalt , wobei D = λEt ∈ 0 ∗ Ct×t eine Diagonalmatrix mit Einträgen λ ist. b) Betrachte das charakteristische Polynom von B und zeige: die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ ist größer oder gleich t. H2 a) Sei M = (mij ) ∈ Cn×n eine Matrix mit reellen Einträgen, d.h. mij ∈ R ⊂ C für alle i, j ≤ n. Zeige: Ist λ Eigenwert von M , so ist auch λ Eigenwert von M. b) Sei ϕ : R4 → R4 linear. Zeige: Es gibt einen ein- oder zweidimensionalen Unterraum U von R4 , der ϕ-invariant ist, für den also gilt ϕ(U ) ⊂ U . H3 a) Berechne das charakteristische Polynom der folgenden Matrix A ∈ Kn×n : 0 1 ... ... 0 0 0 1 ... 0 .. . .. A = ... . . 0 0 ... 0 1 b0 b1 . . . bn−2 bn−1 b) Zeige, daß jedes Polynom p ∈ K[X] n-ten Grades mit Leitkoeffizient (−1)n als charakteristisches Polynom einer Matrix A ∈ Kn×n auftritt. H4 a) Zeige: Ist p ein Polynom mit komplexen Koeffizienten und ist a ein Eigenwert der Matrix A, so ist p(a) ein Eigenwert der Matrix p(A). b) Berechne die Eigenwerte und Potenzen der Matrix 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . 1 0 0 0 c) Berechne die Eigenwerte und die Determinante der Matrix 0 0 a b b 0 0 a a b 0 0 . 0 a b 0 H5 Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, ϕ : V → V ein Endomorphismus und V = V1 ⊕ V2 eine Zerlegung von V in unter ϕ invariante Unterräume (d.h. ϕ(Vi ) ⊂ Vi ). Sei fi = f|Vi : Vi → Vi die Einschränkung von f auf Vi . Zeige: Jeder Eigenwert von f ist Eigenwert von f1 oder f2 , aber nicht jeder Eigenvektor von f muß Eigenvektor von f1 oder f2 sein. Wiederholungsübung Z1 Für welche a, b ∈ R ist das Gleichungssystem Ax = c mit 1 1 1 1 1 −2 0 −1 −6 −2 , 5 1 3 3 3 A= c = 3 1 1 −1 a 1 5 4 0 b+3 lösbar? Gib jeweils die Lösungsmenge an.
