Numerische Mathematik - Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin
Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften
Institut für Mathematik
Prof. Günter Bärwolff, Dr. Lena Scholz
Wintersemester 2009/2010
Stand: 18. Januar 2010
Numerische Mathematik
13. Übungsblatt
Themen für die Übung:
1. (a) Gegeben seien die komplexen Tridiagonalmatrizen



a1 b2
0
−a1



.
..
 c2 a2
 c2


A=
B=



.. ..


.
. bn 
0
cn an
0
b2
−a2
..
.
0
..
.
..
.
cn





bn 
−an
Man zeige: die komplexe Zahl λ ist ein Eigenwert der Matrix A genau dann, wenn −λ ein
Eigenwert der Matrix B ist.
(b) Für die reelle symmetrische Tridiagonalmatrix

a1 b2

 b2 a2 . . .
A=

.. ..

.
.
0
bn
0



 ∈ Rn×n

bn 
an
sei ak = −an+1−k , für k = 1, 2, . . . , n, bk = bn+2−k für k = 2, 3, . . . , n erfüllt. Man zeige: eine
Zahl λ ∈ C ist Eigenwert der Matrix A genau dann, wenn −λ ein Eigenwert von A ist.
2. Für eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n und einen Vektor x = (xk ) ∈ Rn mit xk 6= 0 für
k
für k = 1, . . . , n. Man zeige: für jede Zahl µ ∈ R enthält das
k = 1, . . . , n bezeichne dk := (Ax)
xk
Intervall [µ − ρ, µ + ρ] mit ρ := max1≤k≤n |dk − µ| mindestens einen Eigenwert λ der Matrix A.
Hausaufgaben: (Abgabetermin in der Übung am 26. Januar 2010)
1. Man zeige: Für eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n enthält jedes Intervall der Form
[µ − kAx − µxk2 , µ + kAx − µxk2 ]
mit einer Zahl µ ∈ R und einem Vektor x ∈ Rn mit kxk2 = 1 mindestens einen Eigenwert der
Marix A.
2. Sei A ∈ Rn,n symmetrisch und q ∈ Rn . Sei r(q) =
grad r(q) =
q T Aq
qT q
der Rayleigh-Quotient. Zeige:
2
(Aq − r(q)q).
qT q
Folgere hiermit, dass für einen Eigenvektor v ∈ Rn von A gilt:
|r(q) − r(v)| = O(kq − vk2 ) für q → v.