Lineare Algebra II: Zusatz 10 SS 2005 http://www.mathematik.uni

Lineare Algebra II: Zusatz 10
SS 2005
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/
1. (3 min)
Seien S, D ∈ M (n × n, R) . Sei S orthogonal, sei D eine Diagonalmatrix. Zeige:
S −1 DS ist symmetrisch. (Ein-Zeilen-Beweis)
2. (3 min)
Sei A ∈ M (n × n, R) symmetrisch und nilpotent. Zeige: A = 0. (Ein-Zeilen-Beweis)
Sei nun
2
 0
A=
−2
0

0 −2
2 0
0 2
2 0

0
2

0
2
Vorgegeben wird: Das charakteristische Polynom ist χA (T ) = T 4 − 8T 3 + 16T 2 .
3. (10 min)
Man bestimme eine orthogonale Matrix P , sodass P −1 AP Diagonalmatrix ist. Der
erste Schritt ist schon vorgegeben!
4. (2 min)
Sei h−, −iA die symmetrische Bilinearform zur Matrix A . Welche Signatur hat sie?
Zu 1) Allgemeiner zeigt man: Seien S, D ∈ M (n × n, R) . Sei S orthogonal, sei D
symmetrisch. Zeige: S −1 DS ist symmetrisch. (Ein-Zeilen-Beweis)
Und man zeigt analog: Seien S, D ∈ M (n × n, C) . Sei S unitär, sei D hermite’sch.
Zeige: S −1 DS ist hermite’sch. (Ein-Zeilen-Beweis)
Zu 2) Beachte: Ein derartiges Ergebnis gilt nur für den Grundkörper R.
(a) Man gebe eine nilpotente symmetrische Matrix A 6= 0 in M (2 × 2, Z/2Z) an.
(b) Man gebe eine nilpotente symmetrische Matrix A 6= 0 in M (2 × 2, C) an.
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