Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II) 05.02.2014

Technische Universität Hamburg-Harburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Wolfgang Mackens
Wintersemester 2013/2014
Klausur zur Mathematik II (Modul: Lineare Algebra II)
05.02.2014
Sie haben 60 Minuten Zeit zum Bearbeiten der Klausur.
Tragen Sie bitte zunächst Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer in
DRUCKSCHRIFT in die folgenden jeweils dafür vorgesehenen Felder ein.
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Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Stg.: AIW BU ET EUT IIW LUM MB MEC SB VT VTBIO Sch.
Grundsätzlich gilt für alle Studierenden, dass die Module Analysis II“ und Lineare
”
”
Algebra II“ die Gesamtnote für das Fach Mathematik II“ ergeben.
”
Ich bin darüber belehrt worden, dass die von mir zu erbringende Prüfungsleistung nur
dann als Prüfungsleistung bewertet wird, wenn die Nachprüfung durch das Zentrale
Prüfungsamt der TUHH meine offizielle Zulassung vor Beginn der Prüfung ergibt.
(Unterschrift)
Bearbeiten Sie die angegebenen zwei Teile A und B. In Teil A werden 5 Punkte und in
Teil B werden 15 Punkte vergeben.
Teil A
Punkte
Korrekteur
Teil B
Punkte
Korrekteur
Definitionen
Aufgabe
1
2
3
4
5
P
=
Teil A: Definitionen
Wählen Sie bis zu fünf der folgenden zehn Begriffe aus, und schreiben Sie
deren Definitionen in die jeweils dafür vorgesehene Textlücke.
Jede korrekte Definition unter den maximal fünf ausgewählten Definitionen wird mit
einem Punkt bewertet.
Schreiben Sie für mehr als fünf Begriffe Definitionen auf, so wählen wir für die Bewertung
hiervon die ersten fünf.
Begriffe: äquivalente Matrizen, gramsche Matrix, Orthogonalraum, Drehung, Eigenraum,
Rayleigh-Quotient, Cholesky-Zerlegung, Hauptvektor k-ter Stufe, Spektralnorm, Spektralradius.
Lösungshinweis:
äquivalente Matrizen: Zwei Matrizen A, à ∈ R(m,n) heißen äquivalent, wenn es reguläre Matrizen R ∈ R(m,m) und S ∈ R(n,n) gibt mit à = R−1 AS.
gramsche Matrix: Sei V ein euklidischer Vektorraum, und seien v 1 , ..., v m ∈ V gegeben.
Dann heißt


hv 1 , v 1 i hv 1 , v 2 i · · · hv 1 , v m i
 hv 2 , v 1 i hv 2 , v 2 i · · · hv 2 , v m i 


1
m
G(v , ..., v ) := 
 ∈ R(m,m)
..
..
..
.
.


.
.
.
.
m 1
m 2
m m
hv , v i hv , v i · · · hv , v i
die gramsche Matrix zu v 1 , ..., v m .
Orthogonalraum: Es sei W ein Teilraum eines euklidischen Vektorraums V mit innerem
Produkt h·, ·i. Dann heißt
W ⊥ := {v ∈ V | hv, wi = 0 ∀w ∈ W }
der Orthogonalraum von W in V bezüglich des inneren Produktes h·, ·i.
Drehung: Sei A ∈ R(n,n) eine orthogonale Matrix. Die zugehörige Kongruenztransformation heißt Drehung, falls det A = 1 gilt.
Eigenraum: Der Teilraum
Eλ := {x ∈ Cn | Ax = λx}
heißt Eigenraum zum Eigenwert λ der Matrix A ∈ C(n,n) .
Rayleigh-Quotient: Es sei A ∈ C(n,n) eine hermitesche Matrix und x ∈ Cn , x 6= 0. Dann
heißt
x∗ Ax
RA (x) = ∗
xx
der Rayleigh-Quotient von A an der Stelle x.
Cholesky-Zerlegung: Die Cholesky-Zerlegung einer positiv definiten Matrix A ∈ C(n,n)
ist gegeben durch A = CC ∗ mit einer unteren Dreiecksmatrix C ∈ C(n,n) mit positiver Diagonale.
Hauptvektor k-ter Stufe: Ein Vektor x ist Hauptvektor k-ter Stufe von A zum Eigenwert λ, wenn
(A − λE)k x = 0, (A − λE)k−1 x 6= 0.
Spektralnorm: Die Spektralnorm einer Matrix A ∈ C(m,n) ist definiert als
√
kAk2 := max{ λ | λ ist Eigenwert von A∗ A}.
Spektralradius: Der Spektralradius einer quadratischen Matrix A ∈ C(n,n) ist die nichtnegative reelle Zahl
ρ(A) := max{|λ| | λ ist Eigenwert von A}.
Teil B: Aufgaben
Bearbeiten Sie alle wie folgt angegebenen Aufgaben:
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass orthogonale Matrizen regulär sind.
Lösungshinweis:
Eine Matrix Q ∈ R(n,n) heißt orthogonal, wenn QT Q = E gilt (1 Punkt). Damit ist Q
invertierbar mit Q−1 = QT , hat also insbesondere vollen Rang, Rang(Q) = n (1 Punkt).
Also ist Q regulär.
Aufgabe 2: (2 Punkte)
Berechnen Sie die Spiegelungsmatrix
einer Spiegelung an einer Hyperebene,
die den Punkt
 
 
1
4
2
 
 auf den Punkt mit dem Ortsvektor 3 abbildet.
mit dem Ortsvektor 
3
2
4
1
Hinweis: Auftretende Produkte von Matrizen müssen nicht ausmultipliziert werden.
Lösungshinweis:
     
4
1
3
3 2  1 
    
Es sei w = 
2 − 3 = −1 (1 Punkt). Dann ist die Spiegelungsmatrix gegeben
1
4
−3
durch die Householder-Matrix
Hw := E − 2
wwT
1
= E − wwT
T
w w
10
(1 Punkt).
Aufgabe 3: (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Funktion f ∈ span {m0 , cos(π·), sin(π·)}, also f (x) := λ1 +λ2 cos(πx)+
λ3 sin(πx) für alle x ∈ R, die die Fehlerquadratsumme zu den Daten
xi 0
1
2
3
2
1
yi 3 2 0 −1
minimiert.
Lösungshinweis:
Die Wurzel aus der Fehlerquadratsumme schreibt sich mit


 
1 1
0
3


 
1 0
 
1
, b =  2 ,
A=
1 −1 0 
0


 
1 0 −1
−1
in der Form
 
λ
1
 
A λ2  − b
λ3
(1 Punkt).
2
Die zugehörigen Normalgleichungen lauten dann
 
λ1
1
 
T
A A λ2  = AT b ( Punkt),
2
λ3
also

   
4 0 0
λ1
4

   
0 2 0 λ2  = 3
0 0 2
λ3
3
Dessen Lösung ist λ1 = 1, λ2 = 23 , λ3 =
f (x) = 1 +
die gesuchte Funktion (1 Punkt).
3
2
(
1
Punkt).
2
(1 Punkt). Somit ist f gegeben durch
3
3
cos(πx) + sin(πx)
2
2
Aufgabe 4: (5 Punkte)
Finden Sie eine Orthonormalbasis des R3 (bezüglich des Standard-Skalarproduktes) bestehend aus Eigenvektoren der Matrix


1 1 1


A = 1 1 1 .
1 1 1
Lösungshinweis:
 
1
 
T
Die Matrix A lässt sich schreiben als dyadisches Produkt A = ww mit w = 1 (1
1
 
1
 
Punkt). Also ist w = 1 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert wT w = 3 ( 21 Punkt).
1
Wir normalisieren noch und erhalten
 
1
1
1  
1
v :=
w = √ 1
kwk2
3
1
(
1
Punkt).
2
Außerdem hat A als dyadisches Produkt den Eigenwert 0 mit 2-dimensionalem Eigenraum
(1 Punkt). Da A symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
orthogonal; es genügt also, noch eine Orthonormalbasis des Eigenraums zum Eigenwert 0
zu ermitteln ( 21 Punkt). Da der Eigenraum zum Eigenwert 0 gerade der Orthogonalraum
 
1
  1
zu span{w} ist, raten wir geschickt u = −1 ( 2 Punkt). Dann ist u Eigenvektor zum
0
Eigenwert 0. Normierung ergibt

v2 =
1

1  
1
u = √ −1
kuk2
2
0
(
1
Punkt).
2
Den dritten nötigen Vektor ermitteln wir mit Hilfe des Kreuzproduktes:
 
1
1  
1
3
1
2
v = v × v = √  1  ( Punkt).
2
6
−2
Der Vektor v 3 ist ebenfalls Eigenvektor zum Eigenwert 0, hat ebenfalls Norm 1 und ist
orthogonal sowohl zu v 1 als auch zu v 2 . Somit ist v 1 , v 2 , v 3 eine Orthonormalbasis aus
Eigenvektoren von A.
Aufgabe 5: (2 Punkte)
Ist die Matrix

1 1 0 0 0



0 2 1 0 0 



B=
0
0
3
1
0




0 0 0 4 1 
0 0 0 0 5
diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösungshinweis:
Die Matrix ist eine rechte Dreiecksmatrix mit den Zahlen 1,2,3,4 und 5 auf der Diagonalen.
Somit sind diese Zahlen gerade die Eigenwerte der Matrix (1 Punkt). Da jede der Zahlen
genau einmal vorkommt, ist die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes gerade 1 ( 12
Punkt). Da die geometrische Vielfachheit mindestens 1 und höchstens so groß wie die
algebraische Vielfachheit ist, ist die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes auch 1.
Also stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit für jeden Eigenwert der Matrix
überein ( 21 Punkt). Damit ist die Matrix diagonalisierbar.
Kürzer geht es mit dem Korollar aus der Vorlesung: Hat die Matrix paarweise verschiedene
Eigenwerte, so ist die Matrix diagonalisierbar.